GROUPES DE SÉRIES DISTINCTS

Les séries tri gonoraé triques et périodiques, qui résolvent analytiquement le problème du refroidissement de divers corps de forme polyédrique, constituent réellement deux groupes distincts. Dans le premier, toutes les solutions particulières ne sont que des conséquences de celle du prisme rectangle. Dans le second, les solutions partrculières pro« viennent de celle du prisme triangulaire régulier. Les deux séries primitives, qui servent de bases aux deux groupes, ont des formes essentiellement différentes : dans celle du prisme rectangle, le facteur de Texponentielle, pour chaque terme simple, est le produit de trois sinus ou cosinus, dont les arcs ne varient chacun qu'avec une seule des coordonnées^ dans celle du prisme triangulaire régulier, le facteur en (jc, j-) est une somme linéaire de sinus ou cosinus d'arcs polynômes. C'est ainsi que chacune signale ses propriétés cararléristi([nes, qui seraient masquées, ou resteraient inaperçues, si Ion ramenait les deux séries à une forme commune.

l^O DIXIÈME LEÇON.

La première série géuérale, très-aucieniiemenl connue, cl qu'on peut dire classique, a pu nous conduire rapidement à ses diverses conséquences. Mais la seconde, plus récemment intipduite, exige des vérifications plus développées; et, pour achever son étude, il est indispensable de prolonger, ici, la suite des numéros d'oitlre donnés aux formules de la leçon précédente, que nous serons obligé de citer à chaque nouveau pas.

§ xcv.

PRISME TRIANGULAIRE HÉMIRÉGULIER.

Lorsque, dans la fonction V (^5), on remplace P' par P''^ etP^'parP', les termes aux facteurs W (24)eti/j (29) restent invariables, tandis que ceux aux facteurs //j (-29) changent de signe en conservant la même valeur absolue. Delà résulte que, si Tétat initial apporte une symétrie calorifique inverse par rapport au plan P'' = P', tous les coefficients N et Ms disparaissent, et ceux Mj restent seuls ; car, dans les deux moitiés du prisme triangulaire régulier découpées par ]e plan P'' = P' les trois produits f W, fx/^, f«,, retrouvent alors les mêmes valeurs absolues, mais f W et f i/j avec des signes contraires, et f «i, avec les mêmes signes; les intégrales (34) et (Sg) se composent doue chacune de deux intégrales partielles, qui se détruisent pour N et pour M,, et qui se doublent pour Mj.

La série V (a5), ainsi réduite à

(4o) V=: ^W M,«,sin/7r- e

sera nulle avec les facteurs z/,, et à toute époque, sur le plan P'' = P'; et, par suite de lexislence de ce plan à zéro, la symétrie inverse de Tclat initial sera conservée

PRISME TRIANCULAÏKB HÉMl RÉGULIER. I7I

pendant toute la durée du refroidissement. La série (4o)i qui n'est que particulière quand il s'agit du prisme triangulaire régulier, est générale pour sa moitié, ou pour le prisme triangulaire, que nous appellerons hémirégulier ^ et dont la base est le triangle rectangle ayant son hypoténuse, ar v/3 , double de l'un des deux autres côtés, lesquels sont (r^3, 3r).

Si Ton adopte le prisme dont la base est la moitié ACP^du triangle équilatéral de la figure 1 1 page 154? Téquation à la surface est alors le groupe suivant :

Iz =o; z = A; P = r, ou p z=zo; F=r, ou p' = o; P^'ir^P', OU p"=p'-

Le coefficient Mi a la valeur (3o), en remplaçant t) par Uj , av^ le signe de double intégration

dp\

et prenant pour l'intégrale du dénominateur la moitié de la valeur (38); d'où

"'' ir-p'

Avec cette expression de ses coefficients, la série (4^) donnera la loi du refroidissement par communication du nouveau corps, quelque complicjué que soit l'étal inillal.