TT
prenant la forme — (3/'cî) -f- 2;?:, on peut, sans altérer les
PRISME TRiAWflULAIRE RÉGULIER. l'j'à
sinus OU cosinus (|ui composent les fonctions (^'i), ou supprimer l'entier;, ou bien le changer en prenant pour fac- L leur de 3 r dans chaque arc un quelconque des entiers (i, a, v). De là résulte que (mj, i/, , u\) sont identiques ainsi
que(/£„ li,, u\),
jNous désignerons la fonction u correspondant à ce cas,
par
(44) p=DXLi^t-hOXL,v^.
Les arcs (11) étant tous exprimés avec le même facteur J pour 3r, i^j est complètement symétrique en (P, P. P''), et s'annule sur les trois axes
De telle sorte qu'en détachant, de la triple série V (aS), tous les termes où
(46) A^pt^v (mod. 3),
pour composer la série partielle
' -[--mil
(47) ^ {3ïllV^-h OÏL^v^) sin iit j - e
cette série sera telle que, si les termes au facteur i^f existent seuls, la symétrie calorifique directe existera par rapporta chacun des trois plans (45) ; et que, si les termes en i^j sont seuls, les trois plans (45) resteront à zéro, et la symétrie calorifique inverse aura lieu pour chacun d'eux. On remarquera que la congruence multiple (46) donne, pour les différences (27), celle-ci :
(4B) \, = ii,^v,^o (mod. 3).
iy4 DIXIÈME LEÇON.
§ XGVII.
RELATIONS DES FACTEURS EN (x, j).
Par le départ de (47)? la triple série de V (25) ne contient plus que des termes simples où (X, jui. v) ne satisfont pas à la congruence multiple (4^). Les trois formes (43) de la fonction u sont alors distinctes. Mais il existe une quatrième forme, indifférente entre (P, F, P'), qui reproduit les trois premières en groupant diversement ses termes. On l'obtient comme il suit. Les entiers (X, y., v) dont la somme est nulle, donnant maintenant des restes différents lors de la division par 3, on conclut facilement que ces restes seront (o, -I- ï, H- 2) dans un ordre quelconque, et que les restes correspondants des différences (Xj^ |uii, v,) seront tous, ou -+- 1 , ou -I- 2 : de là résultent les deux identités
2>.|7r 2a, TT 2v,Tr
cos— ^ = cos-ij-== c9S-Y- = 7,
sm -3- =
. 2a, TT . 2v,7r
sin -^ z= sin -^ = (T,
y étant toujours ( j 9 et a étant I dz — j suivant que
le reste compun aux (X,, fXj, Vj) sera (h- i), ou (+ a).
La somme u^ (22) des sinus des arcs (ai) peut s'exprimer en (a\, u\). En effet, si Ton remplace respectivement, dans les trois premiers arcs, lesfacteurs (X, fx, v) de 3r par leurs valeurs (|:x -t- Vj, v H- X,, X -h fx,) déduites des (27)^ et, dans les trois derniers, les facteurs ( v, ^i, X) de 3 rpar les valeurs (il — Xi, X — V,, V — i^x) provenant de la même source, ces arcs primitivement destinés aux (wj, u^) comprendront les seconds arcs destinés aux (t/', , a.,), avec les termes addition-
PRISME TRlAN«il LAIRE RKGULIBR. ,. 175
, . .^ / 2v,Tr 2A,7r 2a,7r\ , ,
iiels posihfs (—5-' ~T~' ""l^ ) "^ premiers,
.^ / 2A,7r 2v, yr ^'Pil^\ j 1 . •
ei ceux négatifs I 5—9 5—» 5— 1 dans les trois
derniers. Si on développe ensuite les sinus (22), ainsi transformés, de manière à isoler les seconds arcs, on aura évidemment, d'après les identités (49) ?
Pareillement on introduira les troisièmes arcs destinés aux (/i*^, u",), en remplaçant les facteurs de 3r, (^,fx, v) par (v — /!ii, i — Vi, [x — /,) dans les trois premiers (ai), (v, jEx, X) par (i-hf^i, v-hX|, |UL -h V,) dans les l roi s derniers^ et, en développant les sinus (22) il viendra
On a ainsi la première ligne du groupe suivant :
//2 rr 7tt, -h (Tu\ r= 7 tt" — (T// ,
tf , = 7 a" -I- (T«'] =r 7 «2 — <T «, ,
les deux autres lignes s'obtiennent de la même manière, en partant des arcs destinés aux (u\^ i/',), aux (//*, m'). Or,
y étant ( -*•-)» la sommation des trois lignes (5o) donne
-(wr-ha,-+- fi",) = (T(i«,-+-a, 4- <) = — (T(K,-i-a,-hO,
et (S qui est I dz ^— | cessivement les deux re
n'étant pas nul, on conclut sucations remarquables
(5i) ^«,-4-tt, -4- < = o, u^-\-u\-\- n^=o.
Si Ton ajoute les deux valeurs de m, de la première ligne (r)o),
iy6 DIXIEME LEÇON.
on a
OU, d'après la seconde (5i), et puisque y= ? la première de ce groupe
que complètent les deux dernières lignes (5o).
