CIL PROPRIÉTÉS DES NOUVEAUX FACTEURS

Les arcs (21) restant les mêmes, les valeurs (11) donnent

dSi 2 7r

— = — (l cos a -4- a cos a' -f- v cosa ) c,,

— = — (>sina-h usma' -f- vsma'Mc,,

dy . \

• ces a -h — sin a I ;

ÏFACES LATÉRALES IMPERMÉABLES. 1 85

et les cosinus des angles (a' — a), (a — a"), {(x." — a'), étant tous ( )> d'après les équations (lo), la relation (i8)

conduit au groupe

dsx dss . ).7r

-5- cosa -f- —- sina =:5-c,, ajr dy or

{65) l -j-cosa -h -r sina' = ^c,,

^ ' ^ dx dy 6r

dSy „ r/.V, . ,, VTT

---cosa"-+- — -sina =--c,.

dx dy or

On obtient le groupe homologue, avec les dérivées de c, au lieu de 5, en substituant — 5, à Cj dans les seconds membres. Répétant les mêmes opérations sur tous les sinus et cosinus dewi et Wj (63), on a d'abord, en partant de la première (65) et de son homologue,

dUt du^ . "^ r^ / ' ' \ . / ' \ i Ml

^^®S«-»- ^Sl°a= 37.[^(^'— ^3) + P(^2~^J-^^(^3--C,)],

Or, d'après le § XC, les différences de cosinus dans la première expression, les sommes des sinus dans la seconde, ont les facteurs respectifs

sin — (P -+- 2/*), sm^(PH- 2r), sin^ (P-h arj,

les deux expressions s'annulent donc quand P = /', puisque (i, fx, v) sont des entiers.

On a ensuite, en partant de la seconde (65) et de son homologue,

— cosa'H-— sina'= — [X(r:,— r,)-+-fx(c,— 6-,)-f-v(c,-r3)],

dui dui Tz ,

— cosa' -H — sina'==-~ — [A(A-3-l-/,^-4-a(A-,-f-y,)4-v(^,-hJ,)l.

Or ici les nouvelles dillercnccs de cosinus, les nouvelles

l86 DIXIÈME LEÇON.

sommes de sinus ont respectivement les facteurs

stn 37.(P - '•), «»" |7:(P - '•) ' s»° 37. (P - ')'

ces nouvelles expressions s'annulent donc quand P = r. On constate aussi, en partant de la troisième (65) et de son homologue, que les binômes

( îll' cos a" + ^ sin A , ( ^ cos «" H- ^' sina") ■

f^'cosa"+^-- "^ 1'"''- " ■ ''«

s'évanouissent de la même manière quand P'' = r.

Le facteur W (63) satisfait aux mêmes conditions, car il suit des relations (28) et (11) que ses dérivées sont

2X7r / . 2^7r , . 2X7r , ,. . aXir ,,\

-;; — COS a sm -^^ p-h cosa'sm -x—P-^ cos a ' sm-;r— /? 9 or \ ôr^ 3r ' 3r ' /

-;; — I sm a sin -;r — p -f- sm a sm -7; — />'h- sm a' sm -sr-- P I • 3r\ 3/*'^ 3r' 3r^/

ajoutées avec les facteurs respectifs (cosof, sin 0e), elles donnent, par les valeurs (10), la somme

|^sin^y,-8.n3p(3r-;,)co»-(/, -p )J,

(//-h//) étant égal à (3r — /;) d'après la relation (26). Or la dernière parenthèse s'annule quand p = o, ou P=:; /\ On constate pareillement que les binômes

(dW , ^W . A [d^N „ dVf . ,\

I — — cosa' -4 ; — sm a' I î I —7— cos a H — -— sm a" J

\ dx dy I \dx dy )

s'évanouissent, le premier quand /?' = o, ou P' = r, le second quand p" = o, ou P" = r.

S cm.