VALEURS DES COEFFICIENTS

Ainsi, la fonction V (26), formée avec les facleui^ (-63), (H complétée par la série (64), vérifie toutes les conditions

FACES LATÉRALES IMPERMÉABLES. iS'y

à la surface du cas-actuél, lesquelles sont évidemuieut comprises dans le groupe général (2); § LVII. Le théorème fondamental (i4)î S LVIII, est donc applicable, c'est-àdire que

(66) fvV'dtj = o

quand U et U' sont les facteurs variables de l'exponentielle dans des termes différents. Actuellement les facteurs

(U,U') sont de la forme MsiniTr-? u' s\n i' t: -^ et, d'après

le § XCI, le signe des intégrations est

j dzj. . . = 1 dz j d(T. . . ;

si donc, a étant égal à /, u^ diffère de ii, le théorème [66) donne

(67) I uu' d(S = G.

L» vl est constant s'il appartient à l'un des termes de la série simple (64), et l'on peut prendre pour u l'une des fonctions (63). On a donc nécessairement, d'après (67),

I w, #/ff = o, j U2d(T = Oy j Vfdaz=.{

équations que Ton vérifle, en appliquant aux fonctions (63)' les calculs indiqués au § XCII.

La première équation (68) est d'ailleurs identique, car, en passant des valeurs (22) à celles (63), les facteurs u^ et 1/2 ont conservé leur symétrie inverse et directe par rapport au plan P"= P'. En effet, par le changement de V en P'' et deP'en F, les arcs (21) (A,, A,, A3) devenant (A'3, A',, A',) et réciproquement, u, (63) reste toujours le même, tandis que UiX^hange de signe en conservant la même valeur absolue. Autrement : si l'on remplace, dans les équations (23),

l88 DIXIKME LFÇO^. FACKS I.A'I itl'.ALES IMPERMÉABLES.

les premiers t'aeteui-s, qui scml tous des sinus, j>ar les cosinus correspondants, on passe des valeurs (22) à celle (63), et cela sans changer les seconds facteurs, dont dépend la symétrie inverse pour //, , directe pour c/j.

D'après cela , le théorème particulier du § XCI ayant encore lieu, les coefficients (M,, Mj, N) seront déterminés par les mêmes formules que lors du refroidissement par communication ; et le coefficient X? de la série simple (64) sera, d'après (3o), § XCI,

Xdz / ^/(T.f sin/TT -

Tinlégrale du dénominateur n'étant autre que Taire du triangle équilatéral.

Lorsque l'état initial f ne dépend que de 5, c'est-à-dire lorsque tous les points d'une même section parallèle aux bases ont la même lempéiature primitive, les coefficients (M,, Mj, N) sont nuls, d'après les identités (68), et ^ï> (69) devient

f sin/TT- dz.

La fonction V se réduit donc à la série simple ( 64 ). Elle est .alors identique avec une série V^ (^5), § LXII, qui exprime le refroidi ssqpient d'un mur ou d'une couche solide, comprise entre deux plans (z = o, z = /i), parallèles et indéfinis, entretenus dans toute leur étendue à la température zéro, lorsque Tétat ini'tial est une fonction ( de z seul. Ce qui devait être, puisque, dans ces circonstances, tous les plans perpendiculaires aux faces du mur ne sont traversés par aucun flux, et peuvent, en restant imperméables, servir (le faces latérales à un prisme quelcon(|ue, sans que l'élat calorifique du volume limité soit en rien changé.

PRISME HEX\f:0>\l. RÉ«;ilIFR. 1 89