LES DEUX PLANS DIAGONAUX A ZÉRO
Si l'on ne conserve, dans les deux séries (i6) et (22), que les termes où les entiers (/^ /') ont même parité, ces deux séries, ainsi réduites, se confondent en une seule, qui réunit leurs propriétés caractéristiques. Alors la température V reste fixée à zéro sur les deux plans diagonaux (17) et (19) ; de plus, les températures sont toujours égales et de signes contraires pour deux points (m', m''), symétriquement placés, soit par rapport au plan (17), soit par rapport au plan (19); la droite m'/?/ ayant dans chaque cas la direction oblique correspondante.
Ainsi, la série (16), limitée aux termes où les entiers (i, /'), ont même parité, n'exprime particulièrement le refroidissement du prisme oblique dont la base parallélogramme a deux arêtes primitives (A, B), que si l'état initial apporte une symétrie calorifique (obliquement) inverse, par rapport aux deux plans diagonaux, qui découpent le polyèdre en quatre prismes triangulaires,
TÉTRAÈDRES CRISTALLINS. 233
Ton prend
l 7"7U,-7"7U'. , (II) U=M +77'U,-7'7''l]' •=MU",
et qu'elle donnera, conséquemment, la loi générale du refroidissement par communication de Tune quelconque des six pyramides découpées par ces plans.
Si Ton prend pour exemple le tétraèdre BB' AC, le coefficient M aura la valeur
Enfin, la série (3) exprimera que les trois plans dia-
gonaux menés par CC sont seub à zéro, si
et donnera la loi générale du refroidissement par roinmii-
(i3) U = M j + 7'7"U, - 77' U', ' = MU-,
a34 TREIZIÈME LEÇOJy.
nication de Tune quelconque des six pyramides que décou- })ent ces plans.
Fig. a3. •
Si l'on prend pour exemple le tétraèdre CCAB', le coefficient M aura la valeur
Tous ces détails étaient nécessaires : car les vingt-quatre tétraèdres tt» donnés par la série du prisme oblique primitif, ont des formes distinctes, et qui peuvent être très-différentes. La série du cube n'en donne que deux, symétriques l'un de Taulre.
§ CXXVI
TÉTRAÈDRES —, DISTINCTS.
Maintenant, pour que la série (3) exprime que la température reste fixée à zéro sur les six plans diagonaux, il
TÉTRAÈDRES CRISTALLINS. ^35
faut que les quatre formes (6), (9), (11), (i3), du polynôme U, deviennent identiques. Ce qui exige que y = / = /', ou que les entiers(/, *', f^) aient même parité dans chaque terme. Les six plans diagonaux à zéro découpent le polyèdre en vingt-quatre pyramides, ayant pour sommet commun le centre, fl, du parallélipipède primitif, et pour bases les vingt-quatre triangles découpés sur les six
faces par leurs diagonales ] nouveaux tétraèdres -j , ayant
chacun une seule face primitive et trois faces tangentes, et dont les formes sont distinctes. Le cube n'en donne qu'un seul.
De là résulte que la série (3), écrite avec le facteur U (6), et limitée aux termes* dans lesquels les entiers (i, i\ i^^) ont même parité, exprimera généralement le refroidissement par communication de l'une quelconque des vingt-quatre pyramides. Si l'on considère successivement les huit tétraèdres, ainsi tracés :
Fig 24 .
qui composent les deux pyramides quadr angulaires opposées, flA'CB'Cy, iîAC'BO, et dont les arêtes communes,
en n, (Pfi, ftr), sont parallèles à OC, et égales à - C, rappelant que le dénominateur du coefficient est le c[uart
a36 TREIZIÈME LEÇON.
de celui qui répond au polyèdre prîniilif, § LXXXII, la valeur de ce coefficient sera donnée par le tableau
dz\ f'O...Cr'B'
dt/i
\ d^ dy
o Jb :
dz'.ï'O...OTA
dz'.ÎXD...Cr'A'
(■^^'^=]ài
.ft)...orB
rfs'.ftD.-.O'r'A'
1 dy' j dx'
A-çr'
'.ft!)...C'rB
[ I rfz'.ft)...0'r'B'
e/z'.ft)...C'rA
quand on traitera celui des huit tétraèdres, dont la base est en regard de l'intégrale triple correspondante. Deux autres tableaux, homologues du précédent, donneront les valeurs du coefficient M, pour les deux groupes de huit létraè-
