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Le paramètre 6^* (aS ) étant symétrique en (/, /'), et celui 6"* en (/, /'), une même exponentielle appartiendra à deux facteurs u différents dans chacune des deux premières parties de V, ou de Vj, comme dans la troisième. On pourrait donc établir entre les coefficients du facteur binôme de chaque exponentielle, des rapports tels, que les plans diagonaux de ^1 ou de 9^ restent fixés à zéro, soit chacun séparément, soit tous deux à la fois^ ce qui' conduirait à de nouveaux

prismes triangulaires - et -• Les deux séries (26) deviennent identiques quand a = j3 = i ; elles doivent alors se confondre avec la série générale (26), § CXXII, du prisme tangent, ce que Ton pourrait vérifier.

Mais, ces développements et ces vérifications ne sont pas nécessaires : car, chacun des prismes $1, $$, deviendrait, par un simple changement de coordonnées, un parailélipipède ayant ses arêtes parallèles aux axes 5 c'est-àdire si l'on passait du système de diamètres conjugués (A, B, C) de l'ellipsoïde principal à un autre (A', B', C). En effet, ajoutant les carrés des équations de la première ligne (16), et ceux des équations de la seconde ligne, on a,

PRIAMES nE> lACETlth. 2.p

ilaiis les lit* Il \ ras

p'Ci ''»>)-'

( c cjui moulro ([ue les huit soniiucts di\s bases de *f ^ el (le ff t sont situés sur une ellipse semblable à ceile-ei

d'où Ton eouelut, faeilement, que les eôtés de chaque base sont parallèles à un système de diamètres conjugués de ' celle ellipse.

Lors des solides homogènes non cristallins, ou lors d'un milieu cristallisé ayant pour forme primitive le cube, tous les prismes ^,, ^j, sont droits, et à base carrée. En effet, les axes sont rectangulaires, on a A = B == r, les équations (i6) sont

($, I p .r -h a j = ±: r, a jr — p^- = i /•; a\ ! p j -I- a..v = zfc r, ?j - p.r = ± /•;

^;l Ton voit aisément qne les côtés de chaque base sont orthogonauX; et que leur unique longueur est

Des deux leçons précédentes on déduit une consécjuence générale, qui les résume en quelque sorte. Les prisiues triangulaires, ou les tétraèdres crislallins, équivalents mais de formes distinctes, découpés dans un même paralléliplpède obliquangle par des plans diagonaux, et dont le refroidissement par communication s'exprime à Taide d'une même série périodique, sont tels, que, détachés et isolément

TÉTRAÈDRES CRISTALLINS.

Ton prend

î 7"7U.-7"7l''. i U=MJ +77'U,-7'7''U', /=MU", (-»-7'7"0,-77'U,''

et qu'elle donnera, conséquemment, la loi générale du refroidissement par communication de l'une quelconque des six pyramides découpées par ces plans.

Fig. 2'j.

Si l'on prend pour exemple le tétraèdre BB'AC, le coefficient M aura la valeur

Enfin, la série (3) exprimera que les trois plans diagonaux menés par CC sont seuls à zéro, si

( 77'U.-7'7"U' I (i3) U = m| +7'7"U,— 77'U', | = MU"',

et donnera la loi générale du refroidissement par commu-

PRISMES DES TKOA'CATLRES. 247

FKISMES DES TRONCATt'RES.

Dclifiitiou des troiicature:>; leurb varieleâ; lvui*s couples. — Cliaiij^eiuoiit de diamètres conjugués. — Trausrormatioii du |»araUé1ipipède. — Refroidissement par comniunicatiuu des prismes formés par des Iroucatures bui Ici» :>ummetj».

$ CXXXllI.

VARIÉTÉS DES TRONCATURES.

Avant de procéder à de nouvelles recherches, îl importe de définir, ici, les facettes secondaires, appelées troncatures en cristallographie, ainsi que leurs diverses variétés^ en admettant exclusivcmeut, pour forme primitive^ le parallélipipède oblîquangle, dont les arèies (A, B, C), sont parallèles et proportionnelles à des diamètres conjugués de 1 ellipsoïde principal. Toute troncature est due, d'après Haùy, au décroissement de X fois l'arête A, sur ^ fois B, et V fois C^ les (A, a, v) étant des nombres entiers toujours peu considérables. D'après cela, le plan de cette troncature sera représenté par l'équation

r— ±: ^ ± -:^ = coiisl .

/A fxB vC

(jui, chassant les facteurs (ï,ft, v) des dénominateurs, et dis- |>osani de la grandeur des lignes proportionnelles (A, B, C), peut toujours être amenée à la forme

TÉTRAÈDRES CRISTALLINS. nZS

faut que les quatre formes (6), (9), (11), (i3), du polynôme U, deviennent identiques. Ce qui exige que y=zy = Y\ ou que les entiers(/, i', f^) aient même parité dans chaque terme. Les six plans diagonaux à zéro découpent le polyèdre en vingt-quatre pyramides, ayant pour sommet commun le centre, ft, du parallélipîpède primitif, et pour bases les vingt-quatre triangles découpés sur les six

faces par leurs diagonales -, nouveaux tétraèdres -^ , ayant

chacun une seule face primitive et trois faces tangentes, et dont les formes sont distinctes. Le cube n'en donne qu'un seul.

De là résulte que la série (3), écrite avec le facteur U (6), et limitée aux termes* dans lesquels les entiers (i, i\ f) ont même parité, exprimera généralement le refroidissement par communication de l'une quelconque des vingt-quatre pyramides. Si l'on considère successivement les huit tétraèdres, ainsi tracés :

qui composent les deux pyramides quadrangulaires opposées, il A' OB' (y, fiAC'BO, et dont les arêtes communes,

en li, (r'fl, ftr), sont parallèles à OC, et égales à ^ C; rappelant que le dénominateur du coefficient est le quart