CONDITIONS D'UN TRIANGLE PSEUDORÉGIJLIER

Substituant, dans le premier arc (9), aux rapports

(p P' P" ^ 7' T' ~r ) ^^^^^ valeurs (6) en [nt^J\ 'i^-'^], et prenant

pour 1/ le cosinus Ci ou le sinus ^1, la vérification d« l'équation (3) exige que

(il) 02 -- (—X[\ l /w H-p w' ^vn/'Y 4- (> // 4- p/î' -t- V ny] ;

et pour que cette valeur de 6* reste la même, quand on partira de tout autre des arcs (9), il faut, cssentiellcmenr, que

les [m^*/^, n^J^~\ satisfassent aux identités

( m' m" -h n' n" = m" m -\- n" n = mm' -\- nn' .

Soit désignée par — la valeur commune des trois niem-

'i^d QUINZIÈME LEÇON.

bres de la première (ia)> on pourra prendre

et, les angles (i|;, ^j/, i|;'^) étant quelconques, cette première identité (12) sera vérifiée. Mais la seconde devenant, par les valeurs (i3),

( 1 4) ces (+" — +') = cos ( ^p — >'') = ces (+' — +),

il faudra que les angles (ip, ip', ^') soient tels que

relations où, â étant moindre que 27:, j et f sont des nombres entiers arbitraires, positifs ou négatifs. Or, si l'on ajoute ces trois relations (i5), la somme des premiers membres étant zéro, il faut que [3cî-f- 2 (7 -l-/)îr] soit pareillement nul 5 d'où résulte, avecjf = et f = — i , pour â la valeur essentielle

Ce qui donne aux trois membres du groupe (i4) la valeur

commune f j ; et, l'angle ^" restant indéterminé, on

aura

Les identités (12) étant ainsi satisfaites, la valeur con-

PRISMES TRIANGULAIRES PSEUDOItÉGULIERS. 1^3

stante (ii) deviendra successivement

par des éliminations faites à Taide de Téqualion (8).

Puisque l'arc — a Bour cosinus ? et pour sinus — ?

les angles (17), substitués dans les (i3), donnent les rela-

tions

desquelles on déduit, par addition et soustraction, les suivantes, qui peuvent les remplacer :

1 /w -f- /w' -H /w" = o , /2 -H /î' H- «" .-- o , '^ ( m' — m^n" s[l, n -^ n' -= m" sj^ .

Par la substitution des valeurs (6) des [m^\ ^^^)t les deux premières (19) sont identiques [ce qui devait être d'après l'équation (5)], et le^ deux dernières deviennent

,/ô / sin(yH-j^) ^ sin p\ siD(6-p) siD[«~ (y H-p)]

v^ \ 1 "^ TT) r 1 '

sin((p-f-p) sin p /- / sin(g-p) sin[g — (y-f- p)]

Si l'on ajoute ces équations respectivement multipliées par les facteurs, (y^ et -f- i) une première fois, ( — i et s]Z) une

srroiido, on a les ôqualîoris de condition définitives

; sin.ç-l-p) ^ v/3sin (f — p) — sin^

I &in[8 — ((p-hp)] __ sin(f — p)-f"V^3Mnp

qui déterminent la forme du triangle cherché ABC, pour chaque valeur de 3? ou pour chaque orientation de OA, en donnant, ainsi qu'il suit, Tangleç dbmpris entre les deux

médianes (OA, OB), et le rapport - de leurs longueurs.

§ CXLVIIl.

AiNGLE ET RAPPORT DE DEUX MÉDIANES.

Par le développement des premiers membres, et le changement des signes de la seconde, les équations ('^o) s'écrivent ainsi

ros p sin y-h sin pcosy ^ \/3 sin (e — p) — sin p

cos(s— p)sin<p-~ sin (g — p)cos y __ sin(f — p) -f- \/3sinp / ^7 5

alors, isolant successivement sin 9 et cosç, on a

sin y __ v/3fsin^fg — p)-i-sin^p] ^^"^ / "^ 2/' '

o 1 W . CCS œ

211 \ sin 6 . - rrr

v/3[siD(8 — p)oos(g — P) ~sinpcosp]-->sinf 2/'

PRISMES TRIAMGULAIRES PBEVDORÉGULIERS. 2^5

et, reconnaissant les identités trigonométriques

sin*(4 — p)-f- sin'P=: i — cos<cos(8 — 2p),

( sin(€ — p) cos(s — p) — sin ^cosô = coscsin(s — 2p),

on déduit des (21), par Télimination du rapport ~, la valeur importante

(23) tangç=.^J — '— lil,

^3cosssin(c — 2^) — sins

et, par l'élimination de (p, Féquation

/^ __ 3[i -— cosg cos ( g — 2 p)p 4- [v/3cosgsin(s — 2 p) — sine]^

qui, après avoir chassé les dénominateurs, développé et réduit le second membre, fait passer dans le premier le seul terme au facteur ^3, puis divisé par 2, prend la forme

[ 2 Z'* sin g -I- P v^ ces Ê sin (e — 2 p )] sin s

z=P[2-\- cos^g — 3cosg cos{g — 2P)]