RELATIONS ENTRE LES TROIS MÉDIANES

La figure 26, page 268, montre que la parallèle à OP' menée par le milieu L'' de AB, où P'' = /", et la parallèle à ÔF" menée par le milieu V de ÂC, où P' = /', aboutissent et se rencontrent au milieu 31L de AO, où P= — /.Le triangle L'Oîl'O, moitié du parallélogramme L'Oit L"0, a donc ses trois côtés égaux à (/, /', l")'^ et, puisque l'angle en O, opposé à /", est le supplément de 9, il en résulte

( 25 ) 2 //' cos (p H- /^ = n - l".

lyd QL'INZIÈME LEÇON.

Or, ia seconde (21), mullîpliée par 2/'/*, se met sous la nouvelle forme

(2//'co5ç-|-r)8inf = P v^3coscsiii(£ — 2^)

[diaprés la seconde identité (22)], et, en y substituant à la parenthèse sa valeur (aS), on a la première relation

(6) I (/"' — /'')sing= /2V^cos6siii(e — 2p),

I (/"a 4- /'») sin^j = /»[2 + cos^f — Scose cos(« — 2p)],

laquelle donne la seconde en éliminant de Téquation (24) le terme au facteur v/3.

A l'aide de /, seule ligne arbitraire, les deux relations (26) donneront /' et/", et par suite les trois côtés : car, d'après un théorème connu, le triangle BOC donne

'^.BL -h 2/* = 4 ''*"*" 4 ^'^S d'où résulte la première du groupe symétrique

^ \ AB =4[2(/»H-/'^)-r='].

Il reste à trouver la grandeur de la ligne p, qui entre au dénominateur de 0* (18). Par les équations de condition (20), les (m, n) (6) se réduisent à

v/3sin(«— p) v/3sinB.

2/siny 2rsin<f

d'où résulte, puisque — est la valeur commune des trois

membres de la première ( i3),

i __ 3[sin»(e — p)-t-sin»p] 0' "" 4/'*sin> *'

PRISMES TRIANGULAIRES PSEUDORÉGULIEUS. 277

ce qui donne, d'après rëquation (21) en si ikp, et la première identité (22),

p^sin'6 = P[i — cos8COs(e — 2?)].

Alors, remarquant que la seconde équation (26) peut s'écrire ainsi

(/2 4- ^2 ^ /''2) sin^g = 3/2[i — coss cos(e — 2p)], on obtient définitivement l'expression

Avant de passer à la discussion de toutes ces valeurs, établissons une dernière formule. Les relations (26) étant prises sous la forme

(n — /'') v^sin« = 3/2 coss sin (« — ap), 3/2— (/»-!-/'' 4-^2) sin»8 = 3/' cosecos(s— 2 p),

on élimine l'angle j3 en faisant la somme de leurs carrés, ce qui donne d'abord

[SP — (P H- /'2 -f- /"») sin^f p -H 3(n—nysmU — 9/*cos2« = o,

puis, développant le premier terme, remplaçant le coefficient total de 9/* par sin*e, facteur devenu commun, que Ton supprime,

9/* — 6r{P + /'2 + r'2) + (/2 4-/'2 4. ra)2sin'« + (3/"'— /'2)» = o,

enfin, réunissant et réduisant,

(28) [2/' — ( /'2 -H n)]^-\-3[n - ny= (p ^ r^ + /"2)^cos'8,

équation remarquable, dont le développement

4[(/4 ^ r -h n - {r^r' -h i"'i' -h fi")] = {p + /'2 + nycosu,

est symétrique en (/, /', /''), comme cela devait être, et

37^ QUINZIEME LEÇOA.

qui r^it les trois médianes du triangle cherché, quelle que soit son orientation.