PREMIER LEMME

Lorsque Tou cherche à établir les lois qui doivent régir les vibrations d'un milieu élastique, dans lequel l'élasticité est constante pour toutes le^ directions, on arrive, entre autres, à une équation aux différences partielles de la forme

p' représentant la densité, «' un coeflScient d'élascité. Cette équation régit deux fonctions différentes, Tune est la dilatation cubique, l'autre une sorte de potentiel de l'élasticité. Les projections du déplacement moléculaire étant représentées par (li, i^, iv) , la dilatation cubique est

\d^~^ "^ — ^ ^ ) ' ^'^^^ '^ première fonction F. En outre, s'il s'agit de vibrations avec changement de densité, ou dites longitudinales, les (u, v^, w) sont les dérivées en (x,y,z) d'une même fonction F, qui doit aussi vérifier l'équation (5)^ c'est cette seconde fonction que j'appelle potentiel de l'élasticité. Si l'élasticité est changeante avec la direction, on peut établir, comme pour la chaleur, que l'équation générale prendra la forme

en coordonnées obliques .

Cela posé, on fait voir, sans grande difficulté, que, lors

THÉORIE DH LA FORMATION DES CRISTAtJX. 2g I

(les vibrations, le concours de deux systèmes d'ondes, les unes directes, les autres réfléchies, partage le milieu en concaméralions polyédriques, vibrant à Tunisson, et séparées par un réseau de surfaces planes. Alors s'il s'agit de trouver la loi intégrale du mouvement vibratoire de Tune de ces concamératîons , il faut intégrer convenablement rëquation (6).

A cet effet, on compose le potentiel F, d'une somme de termes simples

(7) F= CMUcosTôTril,

où le facteur U, fonction de (x', y' ^ .2'), est lui-même la réunion de plusieurs termes partiels, trigonométriques et périodiques, correspondant au même paramètre ô, et tellement choisis, que Tune des dérivées de U, ou une somme linéaire de ses trois dérivées, s'annule à la surface du polyèdre, aân d'exprimer que les molécules de cette surface n'en sortent pas. Puis on détermine le coeflScient général M, de telle sorte que, pour f = o, on ait

fêtant Téut initial de la fonction F.

Le problème d'analyse à résoudre est identiquement le même que celui de la question relative à la chaleur, étudiée dans les dix leçons précédentes, et ses applications spéciales sont aussi les mêmes, à quelques changements près, dans les signes des termes partiels, et dans l'emploi, ou des cosinus, ou des sinus. On pourra donc traiter^ de la même manière, l'état vibratoire de tous les polyèdres que nous avons considérés, et dont le refroidissement s'exprime par des séries trigonométriques et périodiques, non-seulement quand leur surface est entretenue à une température

iyi SEIZIÈME LEÇON.

fixe, mais aussi quand celte même surface est imperméable à la chaleur, ou sans flux. Cette communauté des deux solutions constitue le premier lemmc.