PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS SIMPLES

Soient X et X' deux facteurs (16) différents, ou correspondant à deux paramètres disliiicls m et m', le premier

nKFBOIDISSEBffEMT PAR BAYOMfEMENT. Si 3

vérifiant le groupe composé de réquatiou (17 ) et des conditions (21), le second vérifiera le groupe liomologue

et le rapprochement de ces deux groupes produira, par combinaison^ ce troisième

\ dx CÙK / ^a

Or, si Ton multiplie la première de ces équations (aS) par dx^ pour Tintégrer de — a à -h a, le second membre donnera zéro d'après les deux dernières, et m' et m étant différents, on aura

XX'^ = o,

conformément au théorème général du § LVIII.

D'un autre côté, la dérivée (19)5 rapprochée de la seconde expression (16), donne la relation

qui, conjoiulcmenl avec ré(jualion (17), coiuhiii à Tinié-

3i4 DIX-SEPTIEME LBÇOK.

grale indéfinie

d*où résulte T intégrale définie

Or, les valeurs (i8) et (20) donnent, par multiplication,

en supprimant le point sur (i: car le prodoit sînacosa reste invariable, comme tanga, quand on augmente ou diminue l'arc a d'un multiple quelconque de tt. Avec ces valeurs (29), et celle (10) de ma, si Ton introduit, pour simplifier, le symbole trigonométrique

•(3o) \(<p) = (p4-sinf cosf,

Tintégrale définie (28) devient

(3,; . r\^d.=a'Ji±:titi±i<yi, .

* J-a «>4-ft + p' '

OU bien, puisque, d'après la remarque qui précède, [ijt 4- X (fx)] est égal à X (ft), on a, plus simplement encore,

(3.) p:xVx = /ii^l±iifl).

Telles sont les propriétés générales de tous les facteurs X (16). Nous désignerons ces divers facteurs, par

11EFR010TSS£MEMT PAU HAYOMNEMEMT. 3l5

(Xo, X,, Xa,...) OU X/, €omiue les paramètres par (rrioy m^y m, , . . .) ou m,, comme les coefficients de la série (22) par (Mo, M,, M,, . . .) ou M,^ Tindice rappelant l'entier / correspondant. Et, quand la variable x prendra successivement les valeurs (a:', x^', x'^\ . . .) ou x^J^ chaque facteur X, deviendra (X; , X; , Xf, . . . ) ou Xf \