POUTRE A QUATRE FACES RAYONNANTES

Cela posé, s'il s'agit d'exprimer la loi intégrale du refroidissement d'une poutre indéfinie, dont les quatre faces

x-=,-\-ay et x= — a y X = -hb, et x-i b,

ont respectîvemen l les conductibilités extérieures différentes / et l\ h cl h\ lorsque l'étal initial f ne dépend que de

PRISME RECTANGLE RAYOMMAIIT. 33 1

Tétat initial/pour < = o, conduit à l'identité nécessaire

(5) jMXY = f(ar,jr).

On isole chaque coefficient M, à Taidedu facteur XYd!r^, par la double intégration de x=. — a à x=-|-a, de J^= — h à jr = 4-i^ qui fait disparaître tous les autres coefficients, d'après les premières propriétés énoncées aux quatrièmes lignes I et II, et l'on a, d'après les secon^^es,

(6) . M = ^/ J f(x,r)XYrfrrfr.

Telle est la valeur générale du coefficient M, qui rend le premier membre de (5) identique au second, tant que x reste compris entre — a et + a, j' entre — i et -I- A , et qui détermine la loi intégrale (4) du refroidissement de la poutre, par le rayonnement inégal de ses quatre faces.*

§ CLXXVI

S'il s'agit d'exprimer le refroidissement d'un prisme rectangle dont les six faces

!a:=r:-f-fl, et j;= — û, y=z^h, et yz=^h, z =; H- c, et z = — c,

ont respectivement les conductibilités extérieures /et l\

PRISBtE RBGTAHGLS RAYOMMAMT. 33 1

l'état initial/pour t = o^ conduit à l'identité nécessaire

(5) 2MXY = f(ar,jr).

On isole chaque coefficient M, a Taidedu facteur XYrfa:^, par la double intégration de x=z — a à x=-f-a, de y= — b à jr = 4-i^ qui fait disparaître tous les autres coefficients, d'après les premières propriétés énoncées aux quatrièmes lignes I et II, et Ton a, d'après les secon^^es,

(6) . M = ^J''*r^"f(;r,r)XYrfrrfr.

Telle est la valeur générale du coefficient M, qui rend le premier membre de (5) identique au second, tant que x reste compris entre — a et + a, y entre — i et 4- A , et qui détermine la loi intégrale (4) du refroidissement de la poutre, par le rayonnement inégal de ses quatre faces.^

§ CLXXVI

S'il s'agit d'exprimer le refroidissement d'un prisme rectangle dont les six faces

!a:=r:-f-fl, et x = — û, jr = ^b, et r = -^, z =: H- c, et z = — c,

^m respectivement les conductibilités extérieures / et l\

PRISME RECTANGLE RÀYOl^If AJST. 333

Telle est la valeur générale du eoeflicient M, qui établit ridentité (n), pour tous les points intérieurs du prisme rectangle, et qui détermine Texpression (lo) de son refroidissement, lors du rayonnement inégal de ses six faces.

S CLXXVII

VARIÉTÉS ET VÉRIHCATION.

Si l'état initial f est le produit de trois facteurs f^ fy f,, ne variant chacun qu'avec Tune des coordonnées, le coeflîcieutM (12) est lui-même le produit des trois coefficients des tableaux du § CLXXIY, et la température du prisme rectangulaire devient

ou le produit des températures des trois murs orthogonaux dont il fait partie. Ce q^i généralise une propriété signalée au § LXII. L'expression ( i3) s'applique particulièrement ail cas où le prisme a primitivement la même température dans toute son étendue 5 celle température initiale étant prise pour unité, les trois V„ facteurs deviennent alors des séries homologues de la série (48) , § CLXX.

On peut attribuer, successivement et séparément, aux six conductibilités extérieures (/, /', A, V, g^ g^) toutes les valeurs comprises entre zéro et l'infini. D'où résultera un nombre prodigieux de groupes, distincts, de fonctions (lo) et de développements (11), qui ne pourront donner lieu à aucun doute. Car la méthode d'interpolation du § CLXVIII, et la vérification du § CLXX, s'appliquent, comme il suit, à rétablissement direct de l'identité (1 1).

Pour cela, (J^^ ^\ Sf^") désignant respeclivenient les

nombr» des bcumn adnijsiblo^X, T^ Z^. fi, 3\ 6") ks

MwaeBts linéaires f — y —7 jp?)' 1^ prisme rectangle se

uoawe dit isé en XX' X^ parties égales à j^ 3F. Avec les températnres initiales, et les coonkmnœ. des centres de tons ces parallélipipedes élémentaires, on forme nn nombre XXl^X>'^ d*éqaalions ^al à celai des coeflbrients à déterminer. Puis, quand les nombres ( Jv>, X, XJ^) reprennent leurs rentables grandeurs, les propriétés reconnues des (X, Y, Z ) permettent d^isoler et d'érainer chaque coefficient, à Taide de la métbode des &ctenrs.

On a ainsi un nouTeau groiqpe de XX'X' équations distinctes à une seule inconnue, qni peut remplacer le premier, dont il est déduit, et qni se coiDcenire, comme au ^ CLXX, dans une seule équation. Cette équation exprime que zéro est la valeur d'une intégrale définie triple, ayant les limites du prisme, et dont l'élément différentiel est le produit, d'une fonction arbitraire, par l'excès du second membre de (11)9 sur le premier composé avec les coefficients éralués. D'où résulte nécessairement que le dernier facteur est toujours nul entre les limites de l'int^rale; c'est^nlire que le premier membre de (ii)^ écrit arec les c:oefficients trouvés, donne identiquement la même valeur que le second, pour tous les points intérieurs dn po* Ijèdre.

$ CLXXVIII

SOI.UTIQN POUR UN POLYÈDRE QUELœNQUE.

Traitée généralement, la question du refroidissement (ruri corps solide, par le rayonnement de toute sa surface, conduit h des lois intégrales; qu'il importe de signaler. La

LOIS GÉNÉHALES. 335

fonction V de (x,y, s, t) étant régie par les équations d^y £»V d'y , ^v

(-4) ;(^cosÇ + î5^cos,+ ^cosÇ+/v) =o, 1 \d.T djr dz J (S

v.= F(^,r,2), chaque terme simple a la forme

(l5) V.erUe \

le facteur U, fonction de (x,j-, z), et la constante 0', vérifiant le groupe

dx^ dr^ dz^

( -7- ces Ç -h T- COSU + -r- CCS Ç -h /U =0.

\dx dy dz /»

Si Ton multiplie la première de ces équations (16) par Ydxdydz^ F étant une fonction quelconque de (x, y, z), et qu'on intégre ensuite dans toute Fétcudue du corps, en suivant absolument la même marche qu'au § LYIII*, et employant les mêmes signes, I pour la sommation dans le

Jxs

volume du corps, I pour celle faite à la surface (dont aucune partie n'est en contact avec une source constante de chaleur ou de froid), on arrive à Téquation Gnale

N , Tj tt=. r^ ™tp Tj ('l^d¥ dVdF rfUrfF\

à l'aide delà seconde (f6).

Cette équation (17) résume, en quelque sorte, les pro-

^^ftt# 4itft«^9 1> winti^Mu Car I iatkémit ^nénkuj, * =^ S '^^ '-

Am^^ut • W ML qoaod r r=r o. il fattt cfse ce <

m^il r#r(/f o^uiMf r^t initial f : et ce |wv>blcme dlnterpolaîi^m #^ r^/iit a V^Meàn chéoréme (18), qui permet d*is<der %îU'A'4m%^0fU%i;ui Um% le^caoefficienu, et qui donne pour leor

$ CLXXIX

THfcOKkMK VÉRIFICATEUR.

.Vl/iii», r(f<|iiiHioii (17) conduit à d'autres thorèmes, par