LOI DE L'ÉCHANGE DE CHALEUR

Cela posé, les coordonnées de M étant (or, j^, z)^ celles de M' seront [x -^ g^ y-^h^ z-\-k) ^ celles de Mj [x — fnl^ y — ni y z — pl)^ enfin celles de M', seront [oc-\- g — m/, y -h h — w/, z-hk — pi) 5 et si la température est, V en M, V en M', V, en Mj, y\ en M',, la série de Taylor, réduite à ses premiers termes, par suite de Tex-

FLtX DE CHALEUR ÉLÉMENTAI«ES. 5

tréme petitesse des (^, g^ /i, A), donnera

«fx r/j rtz

d'où l'on conclut le théorème important

C'est-à-dire que l'échange de chaleur (i) sera le même, nonseulement par le coefficient F, mais encore par la différence des températures, pour toutes les positions (Mj, M',) du couple défint, correspondantes à toutes les valeurs admissibles de la ligne /.

On peut adopter, pour u, la couche wrf/, du cylindre infiniment délié, où se trouve Mj, et prendre l'élément sphérique ^^cd^d(fd^y rapporté au centre JVIi, pour représenter le volume xs^ dont M', fait partie. Ce qui donnera définitivement

(4) ^di,^cdi;d^d^\^-^ — cc'-^ — c/— — s'jFdt,

pour l'échange de chaleur actuel. Le signe ( — ) qui affecte les trois termes de la parenthèse, tient à cette circonstance, que la partie B, supposée plus chaude que A, est aussi plus voisine de l'origine des coordonnées ; car, puisque la température est supposée décroître quand on s'éloigne de l'origine, ou de M vers M', de Mi vers M'^ , les dérivées partielles de la fonction qui la représente, prises dans ce sens, étant négatives, il faut qu'elles soient affectées du signe ( — ), pour que l'échange (4) soit définitivement positif. Si la

6 PKEMIÈRE LEÇON.

fonction V étaît croissante, ses dérivées seraient positives, et réchange (4) serait négatif-, c'est-à-dire que ce serait u, et non tj', qui gagnerait de la chaleur •, mais, alors, le coefficient F, toujours essentiellement positif, correspondrait à la direction ( — 9, tt -|-<|/), et pourrait ^voir une valeur différente de celle qui correspond à la direction (y, ^).