CONDITION DE LA FACE HYPOTÉNUSE
« Avec le signe iniermédiaire (-h), et les valeurs (4), la fonction 1/ (3) est
(5) « = cos(/w^ — cl) cos(/ir — p)-+-cos(/2a: — P)cos(/ii7 — a);
écrite, ainsi que ses dérivées, en remplaçant les produits de cosinus et sinus, par les demi-sommes et les demi-différences d'autres cosinus et sinus, elle donne au trinôme
/ . /— du du\
33o DIX-9EUVIÊME LEÇO>.
Je premier développemetit
I y-J cos {mx -{- njr — a — p)-^cos{mJC — njr -^^ — a) l
1 i sin (mx -^ ny — a — ^>-t-siD (mx — njr -{- p — a) 1
2 ) + SÎD (/ïx -H/wr — a — P) — sin(/ij:^ m/-»- a — p) j
1 I sin (fnx-H /!/ — a — p) — siD(/iix — /if -h P — a) 1
2 ) + sio {nx -4- //ix — a — P.) -h sio ^«-c — mjr -+- a — p) J
qui, en remplaçant, inversement, dans chaque parenthèse, les sommes ou les diflerences des cosinus ou sinus superposés, par des doubles produits d'autres sinus ou cosinus, conduit au second
h sfi' . }
( -h ces \^—^ [x H- j) H- p— a j cos y ^^ (**""-^0
S. im-^n. ^ \ (m — n. ,\
sm ( —^ — (^^-r) ~ a — P) cos ( -^'"^— (^— r) )
f ^ *'" i~^ï — ix-i-j)4-p— ajcosi— ^^ — (^— ;:)!
sinl— ^^ — (*-hj) — a — pjcos 1— ^ — (•^""-^Ul-: ■'
— sin ( — ^ — (.»^H-j)-hp— a) cos(— ^ — {*— r)) )
Or, d'après la troisième condition ( 2), celle expression du trinôme (6) doit s'annuler quand la somme (^-hj^) ^st] a, doue si l'on pose, pour simplifier
on doit avoir identiquement
î [^VâC— (//f4-/î)S]cos ( ^^~"^ (x — j)j \
(8) ) ^ !=o, ( -K[^v^C' — (/w-/i)S]cos(^^(ar-j)) I
4{uel]e que «soit la différence (x — y)] ce qui exige que ron ait séparément
(9) (m-hn)S = k^C, (/w — /i)S' = ^v^2C'.
Et tel est le couple d'équations transcendantes, dont les paramètres m et n doivent être racines, pour que Téquation à la face hypoténuse soit satisfaite par ii (5 ).
§ CLXXXVI
ÉQUATIONS AUX PARAMÈTRES
Les deux paramètres sont nécessairement inégaux ; car si m = /z, on a (3 = a, le second arc (7) est nul, et la der-* nière (9) est impossible, tant que h n'est pas zéro. Soit donc m^ n^ et conséquemment j3>a (4). En rétablissantles arcs (7), les équations (9) deviennent
i /m — n ^ \ hJn
f tang ^ -^— /iH- p — a j = — — = langv
|:x et V étant les ares, moindres que -9 dont les tangente»
représentent respectivement les quotients de h ^2 par (m -h n) et par (m — n). Ces équations, réduites aux tan-
352 DIX-]VEryiÈME LBÇOM.
gentes seules , sont satisfaites par les arcs m -^ n
i et j étant des nombres entiers quelconques, et avec ces arcs elles donnent le groupe
iah ma -h na ^ V ^
('") j fi
tang V
qui, rapproché des relations (4) en (a, (3), conduit à celui-ci :
( ,wa=(/-f-/)7r-|-p-hv-h2a = — — >
Par la suppression des premiers membres , les quatre équations simultanées (12) et (i3) serviront à déterminer (soit graphiquement, soit par la méthode des substitutions successives) l'unique système des arcs (fz, v, a, /S), correspondant à chaque couple des entiers («,;). Et, quand ces arcs seront connus, le groupe (i3) donnera les valeurs séparées des paramètres metn.
Avec le signe intermédiaire ( — ), et les valeurs (4), la fonction u (3) devient
( 1 4 ) w = cos [m.r — a; c(>s (//J — p ) — cos (/yjr — p ) cos [mj — a).
Les paramètres m et n sont inégaux, puisque a (14) est nul
352 DIX-WEtIVifeME LEÇON.
gentcs seules , sont satisfaites par les arcs l m -h n
f a -\- « — a=:y7r-hv,
i et j étant des nombres entiers quelconques , et avec ces arcs elles donnent le groupe
I ma -h na ^ V2
I =f7r-ha-|-p -hfA =
I ma — na , ^ \2
I =y7r-ha — p4- v=--ï ,
\ 2 ^ rang v
qui, rapproché des relations (4) en (a, (3), conduit à celui-ci :
/ /. .N al [ iwa= (f -H/Jtt 4- a -(-v-|-2a=: >
Par la suppression des premiers membres , les quatre équations simultanées (12) et (i3) serviront à déterminer (soit graphiquement, soit par la méthode des substitutions successives) Punique système des arcs (fz, v, a, /S), correspondant à chaque couple des entiers («,;). Et, quand ces arcs seront connus, le groupe (i3) donnera les valeurs séparées des paramètres mein.
Avec le signe intermédiaire ( — ), et les valeurs (4), la fonction u (3) devient
( 1 4 ) u z=: cos {m.r — a) cos {//j — fi ) — cos (/?jr — p ) ces [mj — a).
Les paramètres m et n sont inégaux, j>uisque 'i (i4) est nul
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§ CLXXXVII
