SÉRIE TOTALE. VÉRIFICATION

Désignant par u^ et u^ les facteurs u (5) et u (i4)) <lont les paramètres (m, n) sont respectivement rëgis par les re^ lations (ii) et (17), la fonction intégrale V, mise sous la forme

(18) V=^M,w,Ztf *-f-^M,«,Zi? *,

vérifiera les conditions aux cinq faces du prisme triangulaire droità base rectangle isocèle. L'eut initial exigera l'identité

(ig) ^M,«,Z4-^M,ii,Z= f.

On l'établira à l'aide des théorèmes (Sa), § CLXXXI, qui donneront, pour les coefficients, la valeur (34) du même paragraphe, écrite en (Mj , Mj), en (Mt, i/,), et où le symbole 1 da sera remplacé par

dx I dy

D*après la distinction établie entre les facteurs i/| et u^ , des deux coefficients, Mj existera seul, ou disparaîtra, si Tétat initial f apporte une symétrie calorifique directe, ou inverse, par rapport au plan bissecteur [yz=ix)\ l'inverse aura lieu pour Mj-, et la fonction V (18) se réduira à la première , ou à la seconde, des deux triples séries.

L'équation (Sy) , § CLXXXII, a ses deux membres nuls pour le facteur inversement symétrique i/f (i4). Sa vérification par Wi (5) exige un calcul dont voici la marche. On effectue d'abord les intégrations indiquées. Les résultats obtenus se composent de plusieurs fractions, ayant aux dénominateurs les facteurs m, /i, (w-f-/i), (m — n), ei

PRISMES TRIANGULAIRES ilAYOJNNAWTS. 355

aux numérateurs des doubles produits de sinus et cosinus, auxquels on substitue les sommes ou les différences d'autres sinus et cosinus. Les arcs de ces derniers contiennent séparément ma et /la, que Ton remplace parleurs valeurs (i3), en supprimant les multiples (i-h/)?!, (i — /) ^î qui, étant de même parité, ne donneraient qu'une ambiguïté de signe , la même pour tous les termes , et pour les deux membres de l'équation à vérifier. On isole, par développement, les sinus et cosinus de (fA+ v) et de (/[A — v), qui sont alors multipliés par les sommes ou les différences des sinus et cosinus de (j3-|-a)etde((3 — a). Puis après avoir développé tous ces facteurs, on remplace les sinus et cosinus des arcs (a, (3, /^j v) par leurs valeurs en {m, «, /, h V'îi), groupées au tableau suivant :

s,na = -,

COS a =: — :

sînp=i,

{m -^ ny -{- 9.h^ =z X\

m -i- n cosp = — — -

{m -^ nf -\~ ih^ = i)b%

A Va s.nv= ,

Par cette suite d'opérations, la double intégration (20) sur Uf (5) conduit à

/w/iAB\ [m' — n') Xy\\y

La partie de l'intégrale simple, relative aux cotés orthogonaux, e^t

T-- ni" -h /i- 4- -^^ ' \ .

/7i/t AB \ JLDb /

Celle qui concerne l'hypoténtise s'obtient, en prenant pour variable la distance w à son point milieu, de telle sorte que (jc4-y) éianta, (x — y) est &>\/2 5 substituant

ces valeurs dans u^ (5)^ mis sous la forme qui multiplie

h \Ji au second développement du trinôme (6), multipliant

a par rfo), et doublant l'intégrale prise de&) = oà&) = -7=9

on arrivera à

AB(/w' — /î2)c\oi)b

Enfin, rapprochant ces trois résultats, on trouve que la somme des deux derniers, convenablement réduite, est égale au produit du premier par (m* -{- n*) ou 0*. Et c'est ce qu^il fallait vérifier.

§ CLXXXVIII

PRISME TRIANGULAIRE RÉGULIER

Pour traiter le refroidissement par rayonnement du prisme triangulaire régulier, il faut reprendre ses coordonnées naturelles (P, P, P'^) ou Pf/\ qui font avec les x positifs, les angles (a, a', a") ou a^'\ dont les six cosinus et sinus, y^^ et g^'\ ont entre eux les relations groupées au tableau

, 27r 2 7r . 2 7r i/3 2îr i a =«-h-Y' a' =a---â--h2tr, sin — =r l-, cos-^=:— -' J O 3 2 3 2

COS (a'' — a') = cos(a - ol") = cos(a' — a) c^ — i

cosaC/")=7(»

sinaC^) = (TC/)

^(yV -f- ^O'f = 1, 7 -p/^. ^'' = 0, (T-h <r'4- (t'' = o.

7'7" -+- er'ff" = 7^7 -f- er% = 77' + aer' = ~ -

PRISMES TUIANdULAlHKS IVA\0> JN AATS. 35^

On a les formules de Iransioniiatioii

(22) ^U) = xyU^ -hJe^(^'^

et la cinquième ligne (21) donne Tidenli lé 23) P-+-P'4-P" = o.

Les équations des faces latérales du prisme sont

r étant le rayon du cercle inscrit au triangle équilatéral.

Si les trois faces (24) ont la même conductibilité extérieure A, Féqudtion générale, et les conditions au périmètre, qui régissent le facteur 1/, § CLXXXI, seront

/ 1 hu 'h ^ 7^^ -+- ^ (tU) 1 = G.

Si, de plus, Tétat initial apporte une symétrie calorifique directe, par rapport aux trois plans bissecteurs

la fonction u sera complètement symétrique en (P, P, P^'), comme le prisme, comme les conditions au périmètre, comme cet état initial.

Dans ce cas, le seul que nous étudierons, si, avec un arc constant, (5, et trois paramètres (A, fx, v) n'ayant entre eux d'autre relation que celle-ci

358 niX-JNELVikMË 1.EÇ0JN.

on forme les six arcs polynômes

A,= ^((*P+vP' + XP")-f-5,

A,= |-(»P + ÀP'-(-f*P")-t-a, ô r

A', = ^ ^vP^-f.P' + v.p")^-*,

ôr

A',= â-(f*P + >P'-t-vP")+*, or

et que, désignant les cosinus et sinus de ces arcs, par les lettres S et C, affectées des mêmes indices et accents que A, on compose la fonction

qui possédera la symétrie voulue (car la permutation de deux des P^^ lui laissera la même valeur), cette fonction pourra être prise pour w, si elle vérifié l'équation générale (a5) avec un même 6*, et 5'// est possible de déterminer les paramètres (X, [x, v) et l'arc â, de telle sorte que la seconde condition (aS) soit satisfaite pour P = r; ce qui suffira, car, d'après la symétrie établie, il en résultera que la même condition sera aussi satisfaite, pour P'=r, e( pour P' = r.

FRlSMEvS TniAMGl'LAlRES RAYOANAJNTS. 359

§ CLXXXIX