CONDITION DES FACES LATÉRALES

La substitution de C, à /£, dans la première (aS), exige que

or, celle valeur, que les relations (21) réduisent à

étant symétrique en (X, fx, v), sera successivement reproduite par les cinq autres termes de lij (29). Donc cette fonction vérifie l'équation générale (25) avec un même 6*. Maintenant, les équations aux paramètres doivent se déduire de la condition que le trinôme

soit identiquement nul quand P = r.

Ne considérant d'abord que le couple (Ai, A 3) des arcs (28) où P a pour coefficient le même paramètre X, désignons par u\ la somme de leurs cosinus, cette fonction partielle et ses dérivées seront

' ^ = - ^ ["(^(T + pa' -+- vd'O s, 4- (><r + vd' -h pex'OS'a] •

Lors de la substitution dans le trinôme (3i), où les dérivées en a: et en y ont respectivement pour facteurs y et a,

36o DIX-NEUVIÈME LEÇON.

la réunion des deux parenthèses qui multiplient, soit

Sj, soit S't, dans les deux dérivées (3a) de M|, donnera

la même somme, - A, d'après les relations (ai) (dernière

ligne) et (27) ; d'où

, du du "/

Si l'on y remplace les sommes des cosinus et sinus par les doubles produits d'autres sinus et cosinus, en ayant égard aux relations (aS) et (27), l'expression précédente devient la première du groupe

I - hr cos ( X - -h ^ j — A sin ^ ). - -f- ^ H cos^^" (P'— P") \

(33) ( ^ [/.A cos (a^4-^)- psin (p^ 4- ^yjcos'-=-'(P'-P'Oi

[ îr/ircos^. ^-^(î^— vsin L~ + ^\1 cos^(F— P");

la seconde et la troisième résultent, de la même manière, des couples (A^, A',), et (A3, A',), où P a le même coefficient |:x, et V. La somme de ces trois expressions partielles, sera l'expression totale du trinôme (3i). Or, quand P == r, cette somme doit être identiquement nulle, quelle que soit la différence (P' — P'') -, les trois parenthèses (33), qui multiplient des cosinus d'arcs variables avec (F — P'), et différents, doivent donc s'annuler. Ce qui donnera les trois équations cherchées.

§ GXC.

ÉQUATIONS AUX PARAMÈTRES

Si Ton désigne par (/, /?/, n) les trois arcs, positifs ou négatifs, moindres que - en valçur absolue, dont les tangen-;

les expriment respectivement les quotients de h\ par i, par fx, par v, ces trois équations aux paramètres sont

Ilang ("a -h ^) = Y = ^anfe'^ v-T, ^ tang ( p -h ^) = ~ = tang w,

tang (v -h (î ) = — = tang n.

Elles indiquent que les trois différentes (X 4- d — /) , (l>- + à — m) , (v -h à — n) doivent être trois multiples de TT, positifs ou négatifs, et peuvent être remplacées par les suivantes

tir -,

tang /

, hr ' ^

(35) { F- = . =ni — ^,

tang n

en désignant, pour simplifier, par les lettres/, m, n, surmontées d'un point, les sommes (/tî-h/), (/ti-I-w), (fiï + w), de chaque multiple et de son augment.

Mais la constante ô ne peut pas rester indéterminée. Or, la relation ( 27) , qui a présidé à toutes les transformations précédentes , devant être satisfaite , il faut que la somme des derniers membres (35) soit zéro, comme celle des premiers ; d'où

Par la substitution de cet arc, les équations (35) de^

DIX-NEUVIÈME LEÇOK.

viennent

hr o / — m — n l raDfe'/ 3

J hr im — n — /

1 ^ Ung//f 3

f hr un — / — m

tang n

et sont simultanées. Avec les valeurs ( 35 ) et ( 36 ) , Tare Aj (28) prend la forme

en ayant égard à la relation (aS ), qui indique aussi que l'on peut supprimer un des trois points, prendre / par exemple au lieu de /, en remplaçant, dans m etn^ ;' et/' par (/' — /) et (y" — j). Les autres arcs (28) s'expriment de la même manière.

En résumé, à chaque couple des différences (/' — /), (/'' — y), correspondra un facteur w, (29), qui satisfera aux conditions (sS). Il importe de distinguer particulièrement les facteurs dans lesquels deux des trois paramètres (i, fjt, v) sont égaux. Si v = |ul, X = — 2|ul, les trois premiers arcs (28) deviennent, d'après (23)

(39) A,=:^ — 2lt.-9 Aj=5 — 2p — y A3 = S 2/A y

et sont reproduits, dans un ordre inverse, par les trois derniers. Le facteur i/j, composé de termes doubles, peut être remplacé par sa moitié, ou par la somme (que nous désignerons par W) des cosinus des trois arcs précédents. Dans les relations (37), / est négatif, m et n sont égaux, ainsi ((ue m et n; posant

on a le groupe de valeurs égales

(A ] ^r 1 hr ^ !> -j- y +>[< <p + ^/ ,

^ tang y "" 2 tangil/ ~ 3 "" 3 '

le multiple ^7r, qui remplace (/ — 7)7:, pouvant être réuni à Faugment (f par le symbole 9. La constante 3 (36) est

et, introduisant, pour simplifier, les le nouveau facteur W est définitivement

(43) W=COs(2fA-— ^I; W COs/ap^ ^\ -h COS i 2 lt%- .|;j.

On remarquera que les facteurs trouvés (i/j, W), ne conservent aucune trace des anciennes coordonnées, puisque les nouvelles, P^'^, liées par l'identité (23), y restent seules. Ainsi les signes, empruntés pour opérer cette transformation, deviennent libres, entre autres la lettre a, qui abandonne le sinus de l'angle arbitraire a, pour désigner de nouveau la base du prisme.

§ CXCL