FORMATION DU TERME SIMPLE

Cela posé, la température variable V, fonction de (a:, y, z^ t)j est régie par les équations

TÉTRAÈDRES RAYOMIVANTS.

(Ix-

d'y dV

'd^-^lû'

Car la normale extérieure est parallèle, à OX pour la pi'eniière face (i), à OY pour la seconde, à la bissectrice de

l'angle XOZ pour la troisième, à la bissectrice de Tangle

YOZ pour la quatrième. Le terme simple a la forme

V, = Ui?

où le facteur U, fonction de (x, y^ z), et la constante 6*, satisfont au groupe

Avec trois paramètres quelconques (w, w, /[?), et les trois arcs (a, P, 7), moindres que -, dont les tangentes reproduisent respectivement les quotients de /, par m, par «, par /?,

362 DIX-MEUVIÈME LEÇON.

viennent

tang /

tang //}

tang n

et sont simultanées. Avec les valeurs ( 35 ) et ( 36 ) , Tare Al (28) prend la forme

en ayant égard à la relation ( 23 ), qui indique aussi que l'on peut supprimer un des trois points, prendre/ par exemple au lieu de /, en remplaçant, dans rn et n , )' et/' par (/' — /) et [j" — j). Les autres arcs (28) s'expriment de la même . manière.

En résumé, à chaque couple des différences (/' — j)^ {j" — y), correspondra un facteur «,(29), qui satisfera aux conditions (25). Il importe de distinguer particulièrement les facteurs dans lesquels deux des trois paramètres (X, ([x, v) sont égaux. Si v =/jt, X = — 2/ui, les trois premiers arcs (28) deviennent, d'après (23)

(3g) Ai = (î — 2|*-? A2 = ^ — 2|x — t Ai = $ — 2p — 7

et sont reproduits, dans un ordre inverse, par les trois derniers. Le facteur i/j, composé de termes doubles, peut être remplacé par sa moitié, ou par la somme (que nous désignerons par W) des cosinus dés trois arcs précédents. Dans les relations (37), / est négatif, rti et n sont égaux, ainsi (|ue m et n ; posant

PRISMES TAlA^GUl.AIRES RAY0^^4^TS. 363

ou a le groupe de valeurs égales

(io) u. = JI- = LJ^='J^±1±Î = ^±±; taDg(p 2 tang^p 3 3

le multiple itt, qui remplace (/ — y)?:, pouvant être réuni à l'augment (f par le symbole (p. La constante â (36) est

et, introduisant, pour simplifier, les

(42) ^a)=: r— PO),

le nouveau facteur W est définitivement

(43) "W= CCS ( 2 fA - — ;|; w ces ( 2 II- ^|/ W COS ( 2 It- -^ j •

On remarquera que les facteurs trouvés (iii, W), ne conservent aucune trace des anciennes coordonnées, puisque les nouvelles, PC/^, liées par l'identité (a3), y restent seules. Ainsi les signes, empruntés pour opérer cette transformation, deviennent libres, entre autres la lettre a, qui abandonne le sinus de l'angle arbitraire a, pour désigner de nouveau la base du prisme.

§ CXCL œNDITION DE L'ÉTAT INITIAL.

Composée avec les facteurs "W (43), et ceux des facteurs «1 (29) dont les paramètres (X, u, v) sont inégaux, la fonction intégrale V sera

(44) y=^M,u,Zf- ^-h>!NWZ

S64 D1X-J\EUVIÈME LKVO>.

et, comme au § CLXXXI, elle reproduira Tétai initial

(45) ^M.tt.Z 4-2nW= f,

à Taide des coefficieuts

I dz l do. ^ u^Ta

f Z'dz fdfT.u]

r dz CdG.îVi/z

j ZV/z idG.W

Pour eiïecliier la double intégration sur le triangle équilatéral, on peut, dans les éléments diiférentiels, substituera P'sa valeur — (P-4- P')> ^t prendre, pour Taire da^le parallélogramme dont les côtés rfP, dP^ comprennent l'angle -5; d'où résulte

«" i^—fJ-J' !-,-/''■■■

Mais, pour que la fonction V (44) exprime, seule ou sans Taddi lion d'autres séries, le refroidissement du prisme triangulaire régulier, par le rayonnement de ses bases hétérogènes, et de ses faces latérales similaires, il faut que Tétat initial apporte une symétrie calorifique directe, par rapport aux trois plans bissecteurs (26). Cette condition essentielle est évidemment satisfaite, si la fonction f ne varie qu'avec la coordonnée z ^ c'est-à-dire si tous les points d'une mùme section du prisme, parallèle aux bases, ont prîmilivement une même température. Alors les numéra-

tours des coefficients (46) sont les produits du résultat de la sommation de fZr/z sur toute la hauteur, par les intégrales doubles

(48) / dv.u,,

(49) /^<7.W, dont il faut reconnaître les valeurs.