CXCII

CAS DE f(z). NmiÉRATEDRS DES COEFTiaENTS.

Les arcs (a8), mis sous la forme (38), donnent troië couples ( Aj , A',), (As , A',), (Ai , A',), dans lesquels F', que Ton doit remplacer par — (P-f-P'), a respectivement le même coefficient (/, m, n). Le premier couple étant

A, = ^[(/ii-/)P-h(/i — /)?']-+

on obtient r intégrale partielle

/ rrf(7(C,4-C'.) = 4= r ^P r d^'[C,-\-C,\

l Jrf V3«/— ar J — r— P

(5o) < ( (/w — /)cos(/w -!-« — /))

J Zr^^ ' /• • /• • J

en effectuant d'abord les deux intégrations définies sur Cj,

366 DIX-3kmi£K£ LBQfitS^.

liâjLOtçeuzt ettfoiie. m «n n et n en at. diai le remlut, poor eo dédiiire «lelnî qui apputient à C',, et ^pe Ton

ajouur av pitrmjer. La £r action i 5o i runt iii'likim eo (/. m. n . sier-a reproduite pardiacoiK' des denx aLOtres inléçrales panieJleç.

Llntéçrale totale 1 48 ' est donc éçale à 3 fois la fractîoo (5o(. Oa bîeD. $» l'on remplace les j^ m, n par lenrf vajears <' î. -^ d, u — 5. > — 5 | déduites des ^35 ), on aura

et le dénominaUfor ne sera jamais nnl. puisqae pour cha* cuii des facteurs f#,. dans V (44)* 1^ paramètres soiit inégaux. Mab, au contraire, le numérateur est toujours nul : car, la parenthèse derient d*abord, en isolant les facteurs f >, fi, v), remplaçant les différences de cosinus par des produits de sintis, et rappelant la relation (27).

2[*ASÎa -h f sin (> — u- h- usin (fi -h S) sinfÀ — > H- > sin 'v -h o/sin 'ft — î)] ;

puis, substituant aux facteurs [Àsin(). + J). asin (u + ^). vsin (v -h 3)] leurs valeurs [Arcos(/ -h cî), /#roos((i -+- 0), /ircos( V -h J) J déduites des (34 ) el que Ton dévdoppe,

I [cos*Asin(v— |A)-hco«ftsin(À--v)-4-cosvsin p — Vjcos^l I — [sin*Asin(v — ft)-+-sinfisin(l — v)-fsinvsin{a — X)]sin^j'

enfin, développant les [sin (y — (x),sin(X — v), sin (a — /)], on trouve définitivement zéro.

Ainsi, Tintégrale (48) est identiquement nulle. Passons a l'intégrale (49)- D'après l'indifférence du couple de coordonnées P^'^ au signe (47), on peut réduire W (43) à

PHfSMES TRIANGULÂIRIBS BAYOJMMANTS. i6y

son premier terme, el tripler le résultat. Remplaçant, dans ce premier terme, p par r — P, changeant au cosinus le signe de Parc, effectuant l'intégration en P (47)9 on a ensuite

±£jP^.r)cos[^^.,^^y

Or, d'après l'équation multiple (4i ), cos(6|x — ij;) est égal à cos(29 4-i{/), et la tangente de (f étant double de celle deij;, on a

(53) sin9C0S>p = 2sin>pcos(p;

d'où résulte, par développement et substitutions,

cos>I/ — cos(2f -f- >p) = 6sin^psin9COS(j>;

el, à l'aide de cette dernière expression, le triple de la valeur (Sa) donne, pour l'intégrale (49)

sin^p.