CONDITION DE LA FACE INCLINÉE
La forme donnée à la fonction U facilite cette épreuve. Soit posé
>fy6 fl><tl ri t3iLJf£ L£Ç03.
% rx\ I.
• \- «/tNEK.a DLN FiUS¥E DfrjfT.
i>/iH d«' i f^fuilibf*: des t'empératur» de tout prisme <if oit, qui ra%ODfi*; la rhalcur par scr? face» latér2les> et par I uriir de *es deux baM?s /z = — c ■. tandis qae la seconde ' r =:= -^ c » e*t entrel/:nue â des températures fixes F i x. ?' ï ; la fonciiofi L de <x- r z; est régie par les éf|iiations
^L -y»u it'i: * .VU ^ rfU ,,. .
la normale extérieure étant [perpendiculaire à Taxe, eu tout l^/iTit de la paroi latérale, dont le périmètre est (t).
Pour vérifier, tous et séparément, les conditions (19), moins la dernière, les termes simples ont la forme
'■'Mi, U, = aie;
le facl4;ur i>, fonction de z seul, satisfaisant au groupe partiel
dz' \ dz )c ' +<:—»>
4'i le ftjcteur/i, fonction de (x, 7), vérifiant celui-ci , d^u d^ii [du du \
La <:onHtante 6% qui doit être la même dans les deux grou- |H'.s, particularise; le terme simple (20). Les conditions (21) rrprodiiisanl celles (li^), le facteur % aura toujours Texpres-
tatr la fttmim:. étant «obâiiaée dans • 3i i. oonjnit â la 3 OMMle. Les iactmn ^ «, ac' i jamMcnt de propri«ia ]
A TaMit de ce^ prr>prirt«. la solKtîtiitïoD d^ U < 3o) dans lepolrn^ji
et le patta^ â la (ace 7. donnent trois fonctions trigonométntfoti en z lenl, resjiectiveaient nmltîpliées par
( co» ^ <> — x), C30f ^ r — x\ co$ ^ jr x;, V \ V2 l'i %a /
et qui doÎTent s^annnler. tontes et séparément, pour que le poKoÀme ( 34 ), avec l'indice 7. derienne identiquement zéro, qtielle qne soit la différence ij — x). Mais, de plus, chacune des trois nouTelles équations doit être satisfaite quel qtie soit z. Ainsi, la première équafion, celle qui cor-
respond au facteur cos -7= ( J^ — x) , se mettant aisémoit
fOus la forme . . . (35)
,w ,„i N[A.^;co5(«-i&-,fe')-(«-h;,)sin(«-ifc-A')ll r-h PL^, V2 ces (JG-4-r'— r) — («+/?) sin (=W;-hr'— r)J)
4. rin (Ç- n ^ ^ ^"^ ^' ^in(«~ife~ifeO^(/i-h,,;.cos(«-ifc-tft')]| '-h P[^, V^ sin (X-4-r'— r)H-(/i-h/?) ces (x-hr— r)]i ( ' '^ \ i N [a, v^ ces (Ç-ife—ift,') -+-(/»-/') sin («-ifc-^';] Ih- p[a. V^ cos(X-f-r'— r)— (/ï— />) sin (jî;,4-r'— r)]
. ,w w/.( N[A.v/;sinf«-ife-ife')-(/i-/^)cos(«-K!.-i,l,')] -♦- fin (ç'— n ( r /-
(-h P l A,v/2 sin (x-f-r'— r)+(/i— /?) Gos (x-hr— r)]
.exige que les quatre parenthèses { • • • j soient nulles, toutes et séparément. Va les deux autres équations sont aussi exî-
TÉTRAÈDRES RAYONNANTS. 387
géantes. Il y a donc douze relations, et cela eutre six inconnues seulement : les trois paramètres (/ii, n, p)^ et les coefficients (M, N, P) -, disproportion qui semble annoncer une impossibilité.
S ccii.
ÉQUATIONS AUX PARAMÈTRES
Le §CXCVI nous vient en aide pour abréger notre recherche, car çn suivant exactement là route qu'il a tracée, on reconnaît, sans difficulté nouvelle, qu^en posant
(h v/9. A, v^ ht s[^.
= tang oA.,, — ; = tang ift>i, =tancr,, 1*^1 - -
= tang X. , = langui',, — ^^ = tangr',
les douze relations actuelles sont celles des trois groupes (0G -f- « — oftï — i)b' -f-r'-- r.= /7r -f- 2<A,i jp
^ . ' , / IT? =COS ilt =: ces /TT
, / .„ I ;ï7.= cosrTT =cos/ TT
où les entiers (/, ;) ont même parité, ainsi que (^', /'), ainsi que (i"'ij")t Ptqui exigent que les deux sommes (i-h i' -hi")^ (j^j'-\-j") soient paires.
D'après ces relations, U (26) n'existe plus quand deux des paramètres sont égaux. En effet, avec m = /i, on a
.p = a, x = 3li, r'=-5 '\ft> = Jl, ill,' = — e\,', r', == -,
et le troisième groupe (37) donne j" = — i par sa seconde
388 VINGTIÈME LEÇOK.
é([uatioD, d'où ]N= — M d'après sa dernière. Alors, des parenthèdes ( 26), la troisième s'annule par ces F'; les deuxz premières sont identiques, avec le même signe, ainsi queleurs deux facteurs en z, et puisque N = — M, tout dis — paraît. Ainsi U = o.
Des trois groupes (Sj), on déduit les doubles valeurs
DïL= ^ TT-f-r-f-r'+itb, — ifti' == =^7rH-r,4-r,4-\iî—
(38)\x= ^ 7r-f.el.+.A/+r.— r',= tt 4- «.Im +<.^'. 4- lzz:
La sommçdes trois premières devant égaler celle des tToif=^ dernières, il en résulte
