CAS PARTICULIERS

Lorsque l'extrémité (x = o) de la barre est entretenue à la tem|)éralure zéro, ou que /= oo . l'état permanent

4fO VlflGT ET UBIlÊlfE LECOH.

(5i) devient

La fonciiou W ( 5o), devant maintenant s'annuler aux deux extrémités, prend la forme intégrale

où l'est un nombre entier, et pour qu'elle reproduise — U, quand /=o, il faut établir Tidentité

iit L sin — X = —

A l'aide du facteur sin -- xdx^ et de l'intégration entre zéro

et X, le premier membre se réduit au seul coefficient M,-, multiplié par -, et après avoir constaté que deux intégrations-par>partie successives donnent l'intégrale indéfinie

fc II) .„ if ,^ = 'n->)"°r-TK-,)-T

on arrive à la valeur

in

-r- ces i rc

ÉCHAUFFE M^JNT DE LA BAKftE. 4^ <

qui, substituée dans W (53), puis W et U (52) dans Y (49)j conduit à la série

r .. /■^\ '^ . . lit r/. V* -1

(54) v= A^+^y-^ L rUTj -^â^jÂ,

pour exprimer réchauffement de la barre, ayant primitivement la température zéro, que l'on maintient à son extrémité (ar=o), tandis que la seconde (ar:^X) est en contact avec la source constante de chaleur, dont la température est prise pour unité.

Lorsqu'on adapte deux sources constantes de même température X, aux deux extrémités (x= — \ j;=4-X) d'une barre, ayant une longueur double de la précédente, et primitivement à la température zéro, son état variable conserve, à toute époque, une symétrie caloriGque directe, par rapport à la section moyenne (j:=o); qui reste sans flux; chacune de ses moitiés s'échauffe donc comme la barre de longueur simple X, quand l'extrémité [x = o) est imper* méable, ou que /=o. Alors l'état permanent (5i) devient

(55) U = ^AAZ.

Devant s'annuler pour or = X , et sa dérivée pour x = o, la fonction W prend la forme intégrale

4^^ VE9CT rr %3tM3Bl LCCI>3.

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