EXPRESSIONS SIMPLES DES COEFFICIENTS

Autrement : la fonction ^ peut être considérée comme composée de quatre parties : la première paire eh(p et en ip, la seconde paire en (p et impaire en tj/, la troisième impaire en (f et paire en ip, enfin la quatrième impaire en (f et en ip5 ce qu'exprime symboliquement la première des quatre équations du groupe suivant :

c^(— ?» •^) ^pp^pi — ip—ii, c^(— ?, —4') =PP "P' —^P-^^'y

FLUX DE CHALEUR ÉLÉMENTAIRES. l3

les trois autres s'en déduisant par les changements de signes des variables. A Taide de ce groupe (17), on reconnaît facilement, qu'au tableau (16), la parenthèse se réduit, à ^pp pour (a, [3, 7), à 4" pour i, à ^ip pour /ut, à ^pi pour V.

C'est-à-dire, plus simplement, qu'après les substitutions (17)5 chaque parenthèse de (16) aura la même double parité que le facteur trigonométrîque qui raccompagne. Les éléments différentiels seront donc tous pairs en ç et en (p, et Ton pourra étendre les intégrations entre les

limites et -f- - j pour ç et pour ^p, puis prendre le quart

des résultats. Or, avec ces nouvelles limites, on peut joindre, à celle des quatre parties de la première (17) qui remplace chaque parenthèse, les trois autres parties; ce qui n'ajoute à l'élément différentiel total que des termes, impairs en f, en ^, ou en ^ et en (p, disparaissant par la double intégration. En un mot, avec les nouvelles limites, toutes les parenthèses peuvent être remplacées par la fonc* tion ^(ç, ^) complète.

Cela fait : remplaçant la fonction § elle-même par la valeur (6) ; remarquant que, par suite de Tégalité supposée, le triple signe d'intégration

indique la moitié d'une sommation faite dans la couche comprise entre les deux surfaces définies par les rayons vecteurs ^0 et f 1 -, sommation que nous indiquerons par

V; recomposant l'élément sphérique Ç*cJÇrfyrf(p = cj;

assimilant la fonction F à une sorte de densité A; puis le

l4 PREMIÈRE LEÇON.

produit n A à une sorte de masse m; les expressions (16) des six coefficients actuels prennent définitivement la forme

(x, y, 2) représentant, ici, les projections du rayon vecteur Ç, ou les coordonnées par rapport au point M pris pour origine.