DISCOURS PRÉLIMINAIRE. IX

thèse. De là résulte un autre principe, qui n'est encore que probable, et qui conduit a un nouveau système d'équations linéaires aux différences partielles, plus compliqué, mais plus général que le premier.

Or, si l'on examine, avec soin, en quoi consiste la complication apportée par cette plus grande généralité, quels sont les nouveaux termes, les nouveaux coefficients, qui apparaissent dans les équations aux différences partielles, à mesure que l'on écarte successivement diverses restrictions; on conçoit que l'on puisse conclure, d'un pareil examen, la forme que devront avoir, essentiellement, les équations générales, lorsqu'on aura banni toute hypothèse, toute idée préconçue, toute restriction relative à l'homogénéité. Et la réussite de cette dernière recherche, sera l'avénement de la phase définitive que j'ai indiquée. On reconnaîtra les diverses étapes de cette marche générale et progressive, dans l'esquisse historique que je vais tracer, des deux branches principales de la Physique mathématique.

Le travail primitif de Navier sur l'élasticité, et celui qui m'est commun avec Clapeyron, ne considèrent que le cas de l'élasticité constante, sur toutes les directions autour d'un même point. Le principe admis est celui-ci : Deux molécules d'un milieu solide, très-voisines et relativement déplacées, exercent l'une sur l'autre une action mutuelle, dirigée suivant la ligne qui les joint, et égale au produit de leur écartemenl„ par un facteur, qui varie avec la distance des molécules, et qui devient insensible quand celle distance est appréciable.

X DISCOLIIS PIIKLIMINAIHK.

Poisson etCaueliy, par de iiiagnittques travaux, ont traité le cas, plus général, où Télastieité change avec la direction autour d'un même point. Le second principe adopté diffère du premier, en ce que le facteur, qui multiplie Fécartement, dépend a la fois, et de la distance, et des angles qui assignent sa direction; ce facteur ayant toutefois la même valeur pour deux directions opposées Tune à l'autre.

Ce principe, qui devait paraître extrêmement probable, ou presque certain, aux illustres géomètres qui l'ont complété, est devenu très-douteux, depuis que d'habiles physiciens ont signalé les écarts qui existent entre les nombres calculés par la théorie, et ceux que donne l'expérience directe. D'ailleurs, quand on examine a fond ce principe, comme je l'ai fait dans un Cours récemment publié, toutes ses parties paraissent effectivement très-incertaines; chaque mot de son énoncé donne lieu à un doute, déguise une hypothèse restrictive, ou présuppose une loi. La théorie mathématique de l'élasticité ne peut donc continuer à faire usage de ce principe, sans cesser d'être rigoureuse et certaine.

Mais, circonstance remarquable, ilesttrès-faciled'en écarter à la fois toute la partie douteuse : car un simple renversement de l'ordre des matières traitées, lors de l'exposition de la théorie, rend ses lois incontestables. En effet, dans l'étude mathématique de l'élasticité, les fonctions à déterminer sont de deux espèces, les projections du déplacement moléculaire, et les composantes des forces élastiques. Les forces ayant pour cause originelle losdéplaccmc^nts relatifs, il avait paru

DISCOURS PHÉLIMINAIHE. \r

naturel de partir de ces déplacements, et d'en déduire les forces, en adoptant l'hypothèse de l'attraction, ou de la répulsion à distance, des molécules relativement déplacées.

Aujourd'hui, puisqu'il est reconnu, d'après Cauchy, que toutes les lois qui régissent les forces élastiques se déduisent rationnellement des théorèmes généraux de la Mécanique, c'est par établir ces lois qu'il convient de commencer. Puis, il ne faut chercher, qu'après leur établissement, comment les forces peuvent, ou doivent, s'exprimer à l'aide des dérivées des déplacements, sans présupposer aucune loi sur les actions moléculaires, sans faire aucune restriction relative à l'homogénéité. Or, Poisson a déduit ces expressions générales, et certaines, à l'aide de la Mécanique rationnelle. Leurs coefficients sont très-nombreux, il est vrai, mais pour connaître leurs relations naturelles, l'analyse mathématique seule est impuissante; il faut essentiellement interroger les faits, soit la double réfraction, soit toute autre classe de phénomènes.

Il faut le reconnaître : élevés à l'école de Laplace, ni Poisson, ni Cauchy, ne devaient penser qu'il fût possible d'établir une théorie de Physique mathématique, sans présupposer aucune loi. Mais, doués d'une puissance et d'une fécondité qui n'appartiennent qu'aux génies, en ii^muant, pour ainsi dire de fond en comble, le sujet qu'ils avaient adopté, ils ne pouvaient manquer de rencontrer les formules pures de toute hypothèse, puisqu'elles existaient. El peut-elre nous fallait-il le concours et rautoiitc de ces deux grands

Xir DISCOURS PHELIMINAIRE.

géo'mètres, pour amener au jour un tel résultat, si contraire aux idées reçues.

En ce qui concerne le cas de l'élasticité constante, qui intéresse particulièrement la pratique industrielle, j'ai fait voir, dans le Cours déjà cité, qu'en modifiant convenablement la démonstration des deux lemmes, dont je me suis servi dans les Leçons sur T Élasticité, on déduisait, rigoureusement, les formules qui se rapportent à ce cas, des expressions, générales et certaines, données par Poisson. Et ces formules, dont l'établissement est aujourd'hui complètement dégagé de toute hypothèse, de toute idée préconçue sur les actions moléculaires, contiennent, essentiellement, deux coefficients distincts, dont le rapport peut différer d'un solide à un autre, au lieu de l'unique coefficient déduit forcément de l'ancien principe. Circonstance tort heureuse, en ce qu'elle écarte, complètement, les objections qui résultaient des expériences de M. Wertheim et d'autres physiciens.

Passons a l'historique de la seconde branche.

Le travail primitif de Fourier, sur la théorie analytique de la chaleur, ne considère que le cas de la conductibilité constante, autour d'un même point du milieu solide homogène. Le principe admis conduit à ce corollaire, que le flux de chaleur, qui traverse un élément plan, ne contient que la variation, normale à cet élément, de la fonction cherchée, l^uelle n'est autre que la température. Ce corollaire établit rapidement, l'équation aux différences partielles du second ordre qui règnes à l'intérieur du corps, et celle aux différences partielles du premier ordre qui appartient