DISCOURS PRÉLIMINAIRE. XIII
à la surface. Et telles sont les lois diiîérenlielles qui régissent la fonction.
La recherche des lois intégrales, pour des corps de formes données, placés dans des circonstances calorifiques réalisables, a permis de comparer les nombres calculés par la théorie, avec ceux déduits de l'observation; et leur coïncidence, dans le cas très-connu de la barre, a vérifié le principe admis. Fourier et Poisson, ont intégré complètement les équations générales, pour le prisme rectangulaire, et pour le cylindre droit. Laplace a résolu le cas de la sphère. Je suis parvenu à traiter rellipsoide, et tous les corps cylindriques limités par des surfaces isothermes.
Le résultat principal de ces diverses solutions, consiste dans la forme, toujours reproduite, delà fonction intégrale, laquelle s'exprime par une série de termes simples, vérifiant chacun séparément toutes les conditions, différentielles ou autres, moins une; et qui ont chacun un coefficient facteur, d'abord arbitraire, que Vott'parvient à déterminer, k l'aide de la dernière condition, par une méthode d'élimination, présentant constamment les mêmes caractères.
Ainsi, la fonction cherchée est toujours exprimée par une série de termes simples, desquels chacun pourrait exister seul, si la condition finale le permettait. Cette forme, que l'on peut trouver compliquée, et en quelque sorte imparfaite, au point de vue purement analytique, est, en réalité, la forme naturelle de toutes les fonctions que les mathémati(}ues appliquées se proposent de déterminer. Elle existait déjà dans la mécanique céleste; elle domine maintenant dans la théorie analytique de la chaleur; enfin, en résolvant le
XIV DISCOUHS PKÉLIMINAIHK.
problème de Téquilibre intérieur (rime enveloppe sphérique, je Tai signalée dans la théorie mathématique de l'élasticité .
Mais, sa première apparition, sa déiinition la plus lucide, et en même temps la plus complète, appartient à la théorie des vibrations sonores. Là, chaque terme simple est un son bien nettement défini ; la série totale indique la coexistence de tous les sons que le corps peut produire; les coefficients-facteurs, isolément déterminés par la méthode générale d'élimination, donnent les intensités respectives de cçs divers sons; et si la condition finale le permet, il pourra n'exister qu'un coefficient, c'est-à-dire que le corps pourra ne produire qu'un son unique.
Il fallait que cette généralité de forme, des fonctions naturelles, fût bien vraie, bien essentielle, pour être principalement signalée à l'attention des géomètres, par la théorie analytique de la chaleur, dans son premier état, encore si incomplet. Comme je l'ai dit, Fou-r rier et Poisson ont traité le prisme rectangulaire, placé dans toutes les circonstances calorifiques imaginables. Ostrogradski a résolu les mêmes problèmes, pour le prisme droit dont la base est un triangle rectangle iso- <^èle. Je suis parvenu à traiter le prisme triangulaire régulier, sa moitié, et deux tétraèdres irréguliers provenant de la subdivision du cube. Puis j'ai démontré que c'étaient là les seuls polyèdres, pour lesquels on pouvait exprimer la loi intégrale de la fonction cherchée, ou de la température, par des séries dites périodiques, ou sous la forme des solutions précédentes.
J'avoue, ici, que cette conclusion, que cet arrêt forcé dans mes tentatives de généralisation, me causa
