ÉQUATIONS LORS DU CAS GÉNÉRAL

S'il s'agit d'un milieu cristallin ne satisfaisant pas à Fégalité symétrique, dans les flux coordonnés (9), § VI, les fonctions 0„ sont -

d\ , d\ dW

les trois coefficients (a, ^i, y,) étant essentiellement positifs, les six autres positifs ou négatifs. Avec ces valeurs Péquation (3a), § XVIII, devient

1d}\ ^ d}\ d'y ""d^-^^'^-^-^'-dF « X ^v , .d'y

X ^v dy

Il s'agît de reclierclier s'il existe un système d'axes qui puisse simplifier cette équation.

Soient (x\ y\ z') de nouvelles coordonnées rectangulaires, liées aux (a:, j^ z) par les formules

/ x'= mx -+- njr -^-piy (3) < j^'=/w'jr-f-/2'7-+-/>'3,

Avec d'autres lettres désignant ses coefficients, l'équation (2) est la première du groupe suivant :

r/'V rf'V ^V d}\ ' ^ *

dx^ djr^ dz^ dydz

dzdx dxdr 1 \ dV

(4) ( >rA^,

,^V ^^rf'V ^,^V , rf'V \ ( ^^

dz'dx' dx'df

et doit donner, par transformation, la seconde du mémo groupe, dont les nouveau^ coefficients dépendent des anciens.

La transformation s'opère à Taide des expressions symboliques

i d, d, ^ d. ,fd.

di=""d;?-^'" d?-^"" d?'

+ IW'

"rfx'

dy'

\Tz=Pdi'^Pdy^P rf?'

déduites des formules (3), et dont les carrés ainsi que les rectangles, étant développés, donnent les dérivées secondes en (x, 7, 2) à l'aide de celles en (a:', j', z'), de la même

ellipsoïde principal. 3y

fonction V, que Ton place aux numérateurs après d*. Substituant ces valeurs dans la première du groupe (4), et égalant le coefficient total de chacune des nouvelles dérivées à celui qui l'affecte dans la seconde du même groupe, on a les six relations

aie,' = /w^c^ 4- /i» if5> -!-/>' r H- 2 /î/7 A -f- ipm tî^ -f- 2 /w/i ^,

ift,'=:wï'»X-h r'= m"» JL -+-...

(6) { A' = »t'wï"aAo-f-... C=rn''mX-\-*^.

^, ( m/w' cl; -h nn' tH) H- pp' T

'^\-h{np''\-pn')à'^{pm'-hmp')C-h{mn'-\'nm')^,

(Les quatre intermédiaires, qui ne sont qu'indiquées, se déduisent facilement des deux extrêmes.) Or, si l'on substitue les valeurs inverses

jc = mx' -■\- m'x' -\- m" z\

il) { r = nx'^n'f^n"f:,

z z=px' -^p'/ '\-p"z\

dans la première équation du groupe suivant :

^ ( ci.:r»+ift,^r'-t-r«»-h2A7«-t-2C2X +^^xx = ) '^^^ .l,'x'^-hlft>'r"-Hr'z''-4-2Ayz'-f.2C'z'ar'-f-2^'xy= | ^'

on obtient la seconde, avec les nouveaux coefficients (6). Donc, inversement, pour transformer la première (4)^ on peut transformer la première (8), qui représente une surface du second ordre rapportée à son centre ; et les coefficients de la seconde (8) donneront ceux de la seconde (4)* De là résulte celte conséquence que, puisqu'il existe un système d'axes rectangulaires, et un seul, pour lequel le premier membre d'une des équations (8) se réduira à ses trois premiers termes, pour ce système il en sera de même d'une des équations (4), ou de l'équation (2).