XXIV

ÉQUATION GÉNÉRALE SIMPUFIÉE,

Prenant ce système particulier pour celui des (x^ y. z)^ on aura nécessairement

(9) 7«= — Pa=>, a«=— 7=f*> p = — ai = v;

en représentant, respectivement par (1, |ut, v), les valeurs communes, positives ou négatives, de ces trois couples. Les n„ auront alors la forme

£y rfV £V

dx dy dz

dW ^ d\ dy

d\ dv dy "== ^li-^d}-^-^'^'

doù Tou déduit, soit directement par Téquation (32), § XVin, soit par celle (2) réduite :

d'y ^ d'y d'y dy

pour Téquation qui régit V^ et si Ton pose

(11) '0L=zqa\ ^^z=zqb\ -^^z^ qc\

cette équation deviendra définitivement

, , d^y ^ d'y d'y , dy

^ ' dx' dy' dz' dt

en introduisant le rapport A (36), § XXI.

En résumé, dans le cas général, comme dans celui de l'égalité symétrique, il existe un système d'axes rectangulaires, et un seul, pour lequel l'équation générale a la forme

ELLtPSOlUE PIVIWCIPAL. 3g

réduite. Mais ici chacune des fonctions îl„ (lo) contient les variations tangcntielles de la températui^ , en mèine temps que sa variation normale. De là résultent de nouvelles lois régissant les flux élémentaires , et qui seront établies dans les prochaines Leçons.

Les relations (6) sont identiquement les mêmes que celles qui existent entre les composantes normales et tangcntielles des forces élastiques, exercées sur deux systèmes de plans coordonnés différents, dans un corps solide en é({uilibre d'élasticité, et d'où Ton déduit rexistenced'un seul système pour lequel les composantes tangcntielles sont nulles. Cette coïncidence peut établir le théorème précédent dans le cas général, comme la coïncidence avec l'ellipsoïde central l'a établi dans le cas particulier du § X, et il en résulte une sorttî de définition tout aussi simple, quoique différente, des coefficients ou des conductibilités (a,, (3„ ^i). Ainsi, dans son expansion acluelie, la théorie analytique de la chaleur se rapproche de la théorie dynamique des moments d'inertie par le cas de l'égalité symétrique, et de la théorie mathématî([ue de l'élasticité par le cas général d'un milieu cristallin quelconque. Et ces rapprochements deviendront plus intimes encore dans les Leçons qui vont suivre.