S XL

AXES DE L'ELLn>SOIDE DES CONDUCTIBILITÉS.

Pour compléter Tétitde de Tellipsoïde (17), il convient de déterminer ses axes, ou les trois coefficients principaux des flux obliques. Soit u la valeur d'un de ces coefficients,

- sera Taxe qui le i^résente. Le sommet S correspondant

est un point aux coordonnées (x,y, z)y commun à l'ellipsoïde (17) et à la sphère

De plus ces deux surfaces doivent avoir même plan tangent en S; ce qui exige que l'on ait

l (p7-hX»)F-»-(Xfit — v7)G-f-(v^-hpP)H=^a;,

(3o) ^ (XfiH-v7)F-t-(7a-|-p')G-h(fxv — >a)H = ^7,

[ (v> — fxp)F-t-(fitv-+-X7)G-f-(ap+ v»)0=a-3.

Le coefficient «^, d'abord indéterminé, s'obtient en sommant les relations (3o), respectivement multipliées par

(.r, j . ?), m qui lionne, d'après les valeurs (i5), et, d'après les deux équations (17) et (29),

On isole, sueeessivemcnt, les (F, G, H) avee le même coefli-

cient E {t4)> <^" ajoutant les équations (3o) respectivement

multipliées, une première fois par (a, v. — /ix), une seconde

par ( — V, (3, A), une troisième par (|ui, — X, y)-, et, si

Ton remplace le rapport— par —9 d'après (3i), on a le

Sx. ■î'

secon<l groupe

— F =a^ "h vj — pz,

(32) < ^Ct = — vjt+Pj + Xz,

plus simple que le premier.

Enfin, si Ton substitue, aux (F, G, H) des premiers membres (3*2), les trinômes (i5), on isolera, successivement, les (x, y, z) de ces premiers membres avec le mëiQe coefficient i/*, en ajoutant les équations (32), multipliées, une première fois par les coefficients respectifs de x aux seconds membres^ une seconde fois par ceux de y, une» troisième par ceux de z 5 et si Ton pose

(33) I p2^v' + >^=rX2, v). --(7 — a)p = T„ V-f-^'+fx^^^X,, Xfx- (« — p)v=T,,

ellipsoïde des conductibilités. 67

le groupe définitif, s'écrivant ainsi

' T.,jr -t- T,

possède la forme symétrique, si souvent rencontrée dans les recherclies précédentes.

L'éliminaxion de (jr, j^, z) entre les équations (34) conduit à l*é^ation finale

•^^) i =:T.Î(«'— JL,)-4-T',(l«'--^,)-+-T;(li' — X3),

du troisième degré en li', et dont les racines donneront les carrés des trois conductibilités principales, ou, étant divisées pal» y*, les carrés des axes de rellipsoïde (17). Le plan

diamétral perpendiculaire à l'un des axes t9 étant parallèle

au ipian tangent en S à la sphère (29)) son équation sera

J-X H-^Y + .rZ=: O,

et, d'après, le groi||>e (34)) qui se concentre dans la quadruple égalité

/ (T,T3-f-(%, — a»)T,)ar = j (36) < (tjT, -f-(3î;„— //^JTa)j ==| = TaT3a:-t- r3T,/-f-T,T,Z, ( (t.t, -f- (X3— a')T3)z =)

cette équation pourra se mettre sous la forme

Elle donnera les plans des trois sections principales^ lors-

68 QUATRIÈME LKÇON.

([u'oii y substituera, successivement, les trois racines u* de l'équation (3S). Et les axes de rellipsoïde (17) seront ainsi déterminés, tant en direction qu'en grandeur.