LU

■y Cp"z b'^ c c

FORMULES œMPLÉMENTAIRES.

Rappelans en outre que 'le produit des carrés des aitca et celui des carrés des diamètres conjugués sont liés par Tidentîté

(3i) «'A»c'=rA^B»C'.o, ^

où 17 représente la somme trigonométrique

( 3 î bis) i-l- 2 cos ô cos ô' cos ô"— cos' Ô — cos* Ô'— cos' ô" = o ,

comme cela résulte de Téquation (29), § XXVIII, dont les racines sont (a*, i', c'). On peut déduire de là qu'un parallélipipède dont les côtés de grandeurs quelconques seront parallèles aux (a/, j', z')^ aura pour volume le produit de ces côtés multiplié par /ct. Voici d'ailleurs la démonstration directe de cette proposition. Soient (X, Y, Z) les côtés du prisme oblique, et l'angle dièdre dont l'arête est X; la base étant XY sinô'', la hauteur sera Z sin B' sin 0, et le

volume

XYZ sin e' sin ^^ sin ;

or la formule principale de la trigonométrie ^phérî|{uc donnant

sin ô' sin ô" cose = 7 — 7' 7",

où (y, "/*, /') sont les cosinus des angles (0, 0', &')^ on en

88 CINQUIÈME LEÇO.N.

conclut

le volume est donc bîen réellement XYZ y^u.

Enfin, établissons une dernière formule préparatoire. Le carré du sinus de l'angle ô, d'après la valeur (27) de son cosinus et les relations (28), devient successivement

i " sin' 9 = 1 — ces'

Or si l'on désigne, comme au § XLIH, par les (M^/^ , NO^ , PO)) les neuf parenthèses distinctes <du groupe (29), qui devient alors celui (s'), § XLII, l'existence de ce groupe implique^ comme on le sait , celle de neuf autres relations ayant la forme

et si Ton restitue, dans trois d'entre elles, aux parenthèses leurs valeurs, on trouve

ABC

puis les équations (3i) et (32) donnent définitivement la première :

m? n^ /?' sin^ô

et les deux autres qui sont ses homologues. ^ \\ j.; *

LOIS DE LA CONDICTIBILITÉ. Oy

S un.