LOIS DES FLUX COORDONNÉS OBLIQUES
, - > Tout cela étant posé, la fouciîon H^/, ap|>artcnaiit au
flux qui traverse le plan des y' z ^ doit avoir pour exprès»
si on
(OTt, X, $) étant les cosibus des aiigles que la normale au plan a/= o, ou
mx ny pz
[d'après les formules (3o)], fait avec les (or, /, z) ^ cosinus qui ont pour valeurs
dans lesquelles le coefficient i est
m' ri" p" sinô
d'après la première équation (34). On aura donc la nouvelle forme
(35) n^sinô = A'v^/^a,-+-|^û,-h ^^\
qu'il s'agit d'exprimer à Taide des variations de \ , suivant Ies(a/,/,2').
Les formules primitives (24) donnent la dérivée partielle
.r^nx (i' ^- <l' ff'
a.v d,r. dy ' dz
yO CINQUIEMB LEÇO.>.
elles formules inverses (3o) le p;roupe complet
d. A'md. B'm' d.
dx"' a' dx' ' a' dy'
Om" d.
^ a' dz'
dy^ b^ dx' ' ^2 dy'
On" d.
^ b^ dz'
^ "~ "P" /ÏS^' ^ ~ 5p "^ ~?~ Iz' '
La substitution, dans Téqualion (35), des îî„ (aS), conduit d'abord, d'après réquation (36), à
(38) n^/ sin = ^ A2 \/ w^, + A^ y/ ct.T,
en représentant par T la somme l^dy ^p dT\ (P 'I^__!!l^\ Imdy n d\\
cette somme, transformée à l'aide des formules (37), devient
^ d\ / np' — pn' ^ pm' — mp' mn' — nm! \
',dVf n"p ^p"n , p"m — m" p m"n — n"m \
et, lorsqu'on y substitue aux numérateurs des fractions qui multiplient les (A, jz, v) les valeurs données par les six homologues des formules (33), on a définitivement
(39) A^v/^.T=(,/in-h/zV-h/.%)^~(m'>H-/iV-|-/7'v)^.
De là résulte enfin qu'en posant, dans un but de simplification,
/ m X -h « fA 4- /^v = X',
(40) I w')^ -h /î'fx-h/v =p',
Texpression (38) avec la valeur (Sy) sera la pi*eiiiière du groupe
' • r ., /-^v ,d\ ,dy
^V ,,dV r.^ r^^
a,.sinô''= p' y ^go^l -,,
les deux autres s'obtenaut absolument de la même manière. On reconnaît maintenant à l'inspection des relations (4o), que, si les anciens coefficients (A, (jl, v) étaient égaux aux produits de/ par les projections de la ligne R (i4) sur les axes de Tellipsoïde principal, les nouveaux coefficients (X',fjL',v'), sont égaux aux produits de / par les projections de la ligne R sur les diamètres conjugués du même ellipsoïde. Cette loi, d'une généralité remarquable, et qui ramène toujours la ligne R comme pour constater son existence, paraîtra sans doute assez importante^ pour justifier les calculs qui viennent de l'établir.
S uv.
VÉRmCATION.
On vérifie les valeurs (4i) en établissant directement Téquation générale (26) en coordonnées obliques. Prenant pour élément de volume le parallélipipède obliquangle aux côtés (dx\ dy^ dz!)^ Faire commune des deux faces (w,/, w'^^) parallèles au plan des j' zf étant d/dz'smQ^ le flux de chaleur qui entre par w^^/, pendant le temps dt^ est
€iydz' sin ô . d$ (— n,').
g 2 CINQUIÈME LEÇON.
Cl celui qui sort par w'^/
d/ dz' sin 9 . rfr [ - il,' — ^ d.A
(eu négligeant ici Tinfiniment petit, d'ordre inférieur, qu'introduirait le transport au centre de gravité de l'élément). L'excès du premier flux sur le second donnera le premier terme du groupe total
Mdfdz'.dt (^ sin 6 +:^ sin 9' + '^^ sin A ; \ dx X dy dz j
les deux autres termes provenant de la même manière des
flux qui traversent les faces parallèles aux plans des z' x'
et des ody.
dy Ce gain total échauffant de —r- dt degrés, le parallélipi-
pède élémentaire dont le calorique spécifique est F, la densite A, et le volume sj is dxf dy dz' ^ doit être égal à
FA — -- sfm dx dy' dz' dt ;
el substituant aux ft„/ leurs valeurs (41)5 supprimant tous les facteurs communs, et introduisant le rapport k =. — » on arrive etrectivement à l'équation (26).
