PROBLÈME DU REFROIDISSEMENT

Le problème général de la théorie analytique de la chaleur que nous étudierons principalement est celui du refroidissement d'un corps solide^ dont les températures initiales étaient connues, et qui perd actuellement sa chaleur, soit par communication directe avec une soiu*ce froide, soit par le rayonnement de sa surface dans une enceinte à température constante ; cette température, fixe comme celle de la source, étant prise pour zéro. Nous supposerons d'abord que la surface totale a du corps comprend deux parties, l'une fJ rayonnant vers l'enceinte, l'autre (/' en contact avec la source.

Dans ces circonstances, s'il s'agit d'un corps homogène non cristallisé, l'équation générale est

rf»V d}\ d^y dV '^) -d^^-^'d^^'^'d^-^'^di

(§ XXI). L'équation à la surface g se décompose ainsi :

(2) }\dJi: dy dz ] ^,

/t n^t) étant les angles que la normale extérieure^ en chaque point de (/, fait avec les axes coordonnés 5 / ^tant

(^8 SIXIÈME TEÇOW.

la fracliolj -•> laquelle peut différer d'un point à un aulre par le pouvoir émissif s. L'étal initial pour t = o est

11 s'agit de déterminer une fonction V de (o^, J, 2, t)^ vériliant Téquation (1) et sa^tisfaisaut aux conditions (2) et (3). Ce problème d'analyse se résout comme il suit. On prend la fonction V sous la forme

(4) V=gMU.

d'une somme de termes simples, qui vérifient tous et sépai^ment leséquations (1) et (2). Chacun de ces termes est leprodui t de trois facteurs : d'un coefficient indéterminé M, d'une fonction U de (x, )^, -z), et d'une exponentielle où 9* est constant. La vérification de Téquation (1) donnant

rf'U dx'

^ dy^

dz^

et celle des équations (2) exigeant que

'dV