THÉORÈME GÉNÉRAL

Les relations (5) et (6) particularisant un groupe (U, d'), soient

(8) ( (^'eos5^^'cos.^^'cosÇ + /DA =o, \dx djr dz /y'

ceUes qui particularisent un autre groupe (U', 0^'). Si l'on multiplie la première (8) par Vdxéfydz^ et qu'on l'intègre dans toute l'étendue du corps, on aura identiquement

Soient Xi et Xf les abscisses des deux points M| et M, où une droite parallèle aux x vient percer la surface a du corps proposé, lesquelles abscisses seront fonctions des deux autres coordonnées (^, ^). Le premier terme de (9) peut se mettre sous la forme

ih^'Sy-^-"

lOO SIXIÈME LEÇOX.

et, iiitégraiil en x^ par partie, sous celle-ei : Désignons généralement par le symbole

toute sommation faite sur la surface a du corps, décomposée en éléments rfa, infiniment petits du second ordre, égaux ou inégaux, de même forme ou de formes différentes, uniquement assujettis à ne laisser aucun vide entre eux; ^ étant la valeur de la quantité à sommer qui appartient au centre de gravité de chaque élément da. Dans l'intégrale double de (lo), qui est

//H("Sl--'("S')j'

le rectangle djdz est la projection commune, sur le plan des yz^ d'un élément rfa, de la surface en M,, et d'un élément ddi en Ml 5 et {|,, Ç^) étanl les angles que les deux normales extérieures en Ma et Mj font avec Taxe des x, on a identiquement

djreiz = dtr^ cos Ç, = — rfer, ces Ç,.

L'intégrale double précédente devient donc

ou, plus simplement, en employant la notation introduite,

U -7-;- cos ^d(T',

la quantité -^ étant ici la valeur numérique du produit

vjr-

REFROIDISSEMENT PAR COMMUNICATION. lOI

U-^cos|,qiii apparlicnt au centre de gravité de Félé-

inent d<T.

Pour simplifier, et par analogie, désignons encore par Je nouveau symbole

èoute sommation faite dans le volume zs du corps, décomposé en éléments Jcr, infiniment petits du troisième ordre; F étant la valeur de la quantité à sommer qui appartient au centre de gravité de d zs. La substitution dans (lo), de la dernière forme de l'intégrale double donnera la première des trois identités

(ll)< f U ——-"«'= f U-r— C0S>îrf(7 1 -; 7- du,

\X "^y J^ ^^ Jxs ^y ^y

( j^U-^rf.=jU cosU.-j^^^^o;

les deux autres résultant, du second terme {9) intégré d'abord par rapport à y, et du troisième terme (9) intégré d^abord par rapport à z.

A l'aide des valeurs (i i), l'équation (9) devient

0'2 ÇuV'du-h fv (^cosÇ4-^'cos>î-4-^cosAt/(7

— ff— ^ dVdV^ dU d\]'\ '^ J^\dx dx dy dy dz dz ]

Or, dans la sommation faite sur la surface a, la quantité ^ est nulle sur toute la partie (/', d'après la seconde (6), et se réduit à — IWU sur toute la partie g\ d'après la se-

lOa SIXIEME LEÇON.

conde (8) ^ on aura donc définitivement

Si, au contraire, on multiplie l'équation (5) par Udzs^ et que l'on intègre dans toute l'étendue du corps, la même suite d'opérations conduit à une autre équation, qui ne diffère de l'équation (i 2) que par le coefficient ô* au lieu de ô". Or, dans les deux équations finales, les seconds membres sont les mêmes, les premiers membres doivent donc être égaux ; c'est-à-dire que Ton a identiquement

(i3) (0'2 — ô^) ruU'rfCT = o,

et, conséquemment, quand ff^ et 6* sont différents,

(i4) CvV'dfs = o.

Et tel est le théorème général (i4) qu'il s'agissait d'établir.