LXI

THÉORÈMES ^ËdÂUX.

II ne sera pas inutile de vérifier, dans le cas actuel, le théorème général (i4)* Quand (/, /) sont des nombres entiers différents, on a identiquement

(22) I «D/V— siDyir - </a = o;

car le premier membre admet les formes successives

I j cos(i— y)7rr — CO$(/-Hy)irT M«>

[$in(i— y.ic^ siD(i-h/jirM

2ir

et 7 différant de 1, la dernière expression s'évanouit aux deux limites, par sin o = o, et par sin (' ±7) tt = o. El de là résulte qu'avec deux fonctions (U. U') de la forme (19)^1

mais différentes, Tinlégrale définie triple

VV'djccirdz,

prise dans toute l'étendue du corps, aura la valeur zéro ; car elle sera le produit de trois intégrales définies simples, desquelles une au moins s'annulera d'après l'équation (22), puisque les fonctions (U, U') étant ditlérentes, un au moins des entiers (/, /', i") (19)5 facteurs respectifs des trois arcs

(tt -> tr 7^5 TT - 1 9 diffère de l'une à l'autre.

\ a b cj

Il importe de constater que la même conséquence s'étend aux cas où les deux fonctions emploient les trois mêmes entiers (1, i', t"), mais avec des places différentes. Par exemple, si f^ facteur de l'arc en z étant le même, i facteur de l'arc en x dans U est facteur de l'arc en y dans U', et qu'en même temps i' facteur de l'arc en y dans U soit facteur de l'arc en x dans U', les entiers i et z' étant différents, deux des trois intégrales définies simples, facteurs de l'intégrale triple, celle en x et celle en j^, s'annuleront k la fois. Et cela, lors même que h serait égal à a, et conséquemmenl 0'* égal à 0*; d'où résulte un théorème particulier, qui nous était nécessaire, et qui n'est pas compris dans le théorème général ( » 4 ) •