BEFROIDISSEMENT DU PRISME CARRÉ

Lorsque, dans le parallélipipède rectangle, le côlé b est égal au côté a, le polyèdre devient un prisme droit à base carrée. La loi de son refroidissement par communication est toujours donnée par la triple série (aS), (§ LXII). Mais il arrive alors que la même exponentielle peut appartenir à deux termes : car, puisque ft = a, la seconde (19), (§ LX), devient

et, si les entiers i et f sont diflférents^ 9* est le même pour les deux fonctions simples

U =: sin/TT - sin/'7r-sin/"7r-5 a a c

f U' =; sin /' tt - sin / tt - sin i" n,- 9

(le telle sorte que la foiulioii intégrale V s'écrira ainsi :

(3) j V = '^(MU-4-M'U')e * -f- J NW^ ^

la série triple réunissant les termes où i et z' sont difiërents, et la série double ceux où i' = i. Pour distinguer les termes généraux des deux séries multiples, les lettres (M, U, 6*) du premier, sont remplacées dans le second par (N, W, r*), d'où résulte

i W = sin iit - sin in - sin /"tt -?

Pour que V (3) reproduise l'état initial f, il faut que Ton ait identiquement

(5) '^(MU-hM'U')-+-2NW:=f.

La méthode d'élimination du § LIX, permet d'isoler chaque coeflBcient N, qui multiplie le terme correspondant à une valeur choisie de t*; ce qui conduit à

en appBquant la formule générale (20), (§ LX), pour évaluer le dénominateur. Quant aux deux coefficients M et M' qui multiplient deux fonctions U et U' correspondant à un même 0*, il ne semble pas, au premier abord, que la méthode d'élimination citée puisse isoler chacun d'eux.

En effet, si l'on multiplie successivement l'équation (5) par Vduj et U'rfcy, U et U' ayant les valeurs (2) qui correspondent à la valeur choisie de 6*, et qu'on intègre à chaque fois dans toute Tétendue du corps, les termes appartenant à

PRISME CARRÉ. I l3

toutes les autres valeurs de 6^ disparaissent, d'après le théorème général (14)5 § LVIII, et Ton aura, par les deux opérations successives

, [ M / U'rfsr 4- M' / VU'da = j tVdzj,

I t/tj t/çy «/çy

ce qui parait faire dépendre la détermination de M et M', delà résolution de deux équations du premier degré.

Or, d'après les dernières remarques du § LXI, Tinté* grale triple

Jrs

OÙ Û et U' sont les fonctions conjuguées (2), a la valeur zéro : car, bien que U et U' emploient les mêmes entiers, puisque i eti',<JUi ne sont pas égaux, occupent des places différentes, les deux in traies définies simples, en x et en y^ facteurs de l'intégrale triple précédente, s'annuleront d'après l'identité (aï) du paragraphe cité.

Les deux équations (7) isolent donc réellement les deux coefficients M et M', dont les valeurs sont

JM'=-£fCV„,

car les deux dénominateurs ont la valeur conunune -5-5

d'après la formule (20), § LX. Avec les valeurs (6) ei (8) des

coefficients (N, M, M') la série totale (3) exprimera la loi

du refroidissement par communication du prisme droit à

base carrée, quelque compliquée que soit la fonction f.

Mi SKI'TIKME LEÇOxV.