SYMÉTRIE CALORIFIQUE DIRECTE

On peut donner maintenant un exemple remarquable d'une loi générale, dont voici l'énoncé. Si le polyèdre dont on veut exprimer le refroidissement présente une symétrie géométrique qui ne soit pas altérée par l'équation à la sur* face, lorsque l'état initial apporte une certaine symétrie calorifique, en rapport direct ou inverse avec celle du polyèdre, cette symétrie est conservée pendant toute la durée du refroidissement : les termes de la fonction V s'associent de manière à la faire ressortir, et si certains termes ne peuvent la partager, ces termes disparaissent.

S'il s'agit du prisme à base carrée, quand on change x en r et r en JC, on passe d'un point m à un second point i?/, et ces deux points (fn, ml) sont symétriques par rapport au plan diagonal jr = x, qui partage le polyèdre en deux prismes triangulaires égaux, à base rectangle isocèle, et symétriquement placés. Lors du refroidissement par com-

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manication qae iiôiu coDàidérons, toaie la surface du polyèdre est entretenue à la température léro, c'est-à-dire de la même manière de part et d'autre du plan diagonal.

Supposons que les températures primitives soient symétriquement les mêmes dans les deux prismes triangulaires, c'est-à-dire que la fonction f apporte une telle symétrie directe, que. si l'on remplace x par >■ et jr par x, sa valeur ne soit pas changée: d'où résultera qu'à l'origine du refroidissement, le plan diagonal ne sera traversé par aucun ilux, puisque les températures seront les mêmes de part et d'autre.

Alors, dans le terme général de la série triple (3), les deux coefficients M et M' deviennent ^aux. En eflet, le changement de x en y et dej en x transformant U en U' et réciproquement, tandis que f reste le même, la somme des deux éléments qui comprennent respectivement les points symétriques {m^mf) sera la même et égale à f (U-+- f) Jtj, pour les deux intégrales (8)^ qui, étant ainsi composées d'un même nombre de couples égaux, seront conséquemment égales. Donc M' = M. Quant à l'intégrale (6), W restant le même, comme f, quand on passe de m k m\ cette intégrale totale sera la somme de deux intégrales partielles identiques. La fonction V (3) sera donc

(9) V=^M(U-hU')tf ^^-^NWe \

et reproduira exactement, à toute époque, la symétrie directe apportée par la fonction f, puisqu en y remplaçant X par yetj par x tous les facteurs (U -|- U') et W ne changeront pas.

On peut constater, en outre, que le plan diagonal restera imperméable à la chaleur pendant toute la durée du refroidissement, comme il l'était à Torigine. En effet, pour tout élément w parallèle au plan j^ — x = o, la fonction fl fac-

PRISME CARRÉ. 1 ÏJ

teur du flux qui le iraverse, sera

I /d\ dy\

d'après la formule (3o), § XVIII. Or le facteur en (x, j* ) de (U -4- U') est

. . ^ ' ., y . , X . r sin I ir - sini TT — h sm / ir - sm / tt - > * a a a a

et ses premières dérivées en y et en x deviennent évidemment égales quand j^ = x, c'est-à-dire lorsque w est sur le plan diagonal; et il en est de même des dérivées du facteur en [x, y) de W, qui est la moitié du précédent écrit avec 2'= 1; tous les termes de \ (9) jouissent donc de cette

propriété. D'où résulte enfin — = — > ou fî = o, quand

y = x, et cela quel que soit t,