SYMÉTRIE CALORIFIQUE INVERSE

Supposons maintenant que les températures initiales soient symétriquement égales et de signes contraires, dans les deux prismes triangulaires, c'est-à-dire que la fonction f apporte une telle symétrie inverse, que, si l'on y remplace x par / et j par a:, elk change de signe en conservant la même valeur absolue; d'où rénultera qu'à l'origine du refroidissement, le plan diagonal aura la température zéro dans toute son étendue, cette température- étant la seule qui puisse à la fois être la même et avoir des signes contraires, quand les deux points symétriques (m, ni) se confondent.

Alors les termes aux coefficients N disparaissent dans

Il8 SEPTIÈME LEÇ02K.

V (3) : car, dans IVlément de rintégrale \ 6), le facteur W a la même Taleur arec le même si^e aux deux points (m, it/), tandis que le facrtenr f a deux Talenrs égales et de signes contraires : Fintégrale totale sera donc nulle, comme étant composée d'éléments positifs et n^atifs, en même nombre, et qui se détruisent. Ainsi la série double disparaît de (3).

De plus, dans le terme général de la série triple, qui reste seule, les coefficients M et M' deviennent égaux et de signes contraires. En effet, Tintégrale totale de la première (8) peut être répartie en deux intégrales partielles, composées d'un même nombre de termes. Tune pour le prisme triangulaire dont m fait partie, Tautre pour celui qui comprend ml'^didvs étant l'élément correspondant au point m, si l'on y remplace x par y et y par a:, on aura — ÎXi'dvs pour Télément correspondant au point W; et il suffira d'intégrer la somme f (U — U' ) dts de ces deux éléments, chez le premier prisme triangulaire. Pareillement, dans Tintégrale totale delà seconde (8)^ l'élément correspondant au point m étant f U'rftJ, celui qui correspond au point m' sera — f U dw ; et il suffira d'intégrer la somme f (U' — U) dxs de ces deux éléments, chez le premier prisme triangulaire. Or les deux intégrales ainsi obtenues seront évidemment égales et de signes contraires. Donc M'= — M.

Ainsi la fonction V (3) se réduit dans le cas actuel à

(lO) V=:^M(U— U')e *.

Ici, quand on remplace x par y et y par x^ la différence (U — U') change de signe en conservant la même valeur absolue; et quand j^ = j:, cette différence s'annule, puisqu'alors U' = U5 ces propriétés communes à tous les termes s'étendent à la série elle-même. La fonlion V (lo) reproduit donc exactement, et à toute époque, la symétrie

PRISME CARRÉ. I l()

iiiTerse, apportée par l'état initial f. En on mol, cette symétrie inverse, tra^MÎ*^ analytîquenienl. a fait disparaître de la série (3) les termes en \V qai ne pouvaient Tadmettre, et modilié ceux en (L\ U') de manière à s*y établir.