LXXIL CAS DE L'ÉTAT INITIAL CONSTANT

Particulièrement, lorsque l'état initial est conslani, ou que f = 1, la formule (19) donne

(20) M ^ , .,, '^ . — -on.,

où DU, représente l'intégrale double

{^•^ f ^^J 1 sin in '- sin /' tt " sin /' tt - sin /tt - ) ; - , Jo \ « ^ n a)

car, après la substitution de Uj (i6), l'intégrale simple en

z, qui est zéro quand /" est pair, a pour valeur -zj^— quand f

est impair (2/'-!- i). Il s'agit d'évaluer 3TI. Effectuant d'abord l'intégration en j^, on a

na I ^(i— cos/'ir- ) sin/7r'^ 1

premier résultat que l'on peut décomposer ainsi :

— — I da: [ — sinin sin i tt - |

(21) 'ÎTL = '' / •'^ ■ ^

r.2sinrjr-cos/ir -

— / . 2 sin in - ces /' tt a a ,

«linfenant, soit posé, pour simplifier, cosiV = 7, cosi'Tr = 7'.

La valeur de la première intégrale (21) est évidemment {/ — 7) î <^clle de la seconde, mise sous la forme

/ dx (/' — /) sin (z'-h i)iz- -h [i'^i) sin (1' — /)7r - j

[en observant que cos (i'dr 1)7: = /y], est le produit de

par (i — -/y) — Substituant dans l'équation (ai), il vient

PniSME TKI\AGI)LA1RE ^, 12$

dernière expression que l'on peut mettre sous la forme

,,, ^'['"(■ + 7')fi-7)+''('-f-7K»-7')]

Or cette valeur de OTL sera nulle si i et /' sont tous deux pairs, par y = y'= i -, elle sera aussi nulle si i et i' sont tous deux impairs, par y = y'z= — i . Elle ne subsistera que si l'un de ces deux nombres est pair et l'autre impair : si I = 2J et i' = 27' 4- 1 , elle est

et, si 1=: 2/ -h I et /' == 2/', elle devient

Or, ou peut adopter exclusivement le premier groupe de valeurs des (1', i'), d'après le § LXVI, et composer M ( 20) avecOTL (24) ; ce qui donnera

En résumé, dans le cas actuel, la fonction V sera donnée par la triple série

2yt?

(v-'-(-i)[(V+i)'-(2yr]^

dans laquelle '^ et S* sont, pour simplifier,

,t? = sin 2 /"tt - sin (2/ 4- i ) tt sin (2 /' H- ! ) tt - sin 2 /tt - ?