THÉORÈMES, ET VÉRIFICATION

La fonction \» (28) donne la loi du refroidissement d'un mur indéfini , perpendiculaire aux z , d'épaisseur c, ayant primitivement une température constante prise pour unité, et dont les deux faces sont entretenues à la teinpéràture zéro. La fonction ^^(x,.r) (^9) donne la loi du refroi^ssement d'iin prisme indéfini, parallèle aux z^ et dont la section droite, B, est un triangle rectangle isocèle de côtés (a, a, asji) lorsque sa température primi tive étant i, ses trois faces sont entretenues à la température zéro. Et la fonction V, qui donne la loi du refroidissement dans le prisme actuel, de base B, de hauteur c, est le produit

des deux fonctions appartenant aux deux solides indéfinis qui comprennent ce polyèdre.

L'eut initial f = i, devant être reproduit, quand on annule ^, V(3o) doit se réduire à l'unité, et puisque le facteur V^ devient i , § LXIII, il faut qu'il en soit de même du facteur ^{x,r)' De là résulte ce théorème d'analyse, que la

PRISME TEIANGULÀIRB 7. 1 27

double scric trigonouiétrique eu (x, y) (30 ^ 'J""

où <? ala valeur (27), est invariablement (-r J à Tinté-

rieur de la base B ( ou du triangle aux côtés, j^ = o, j^ = x, X = a), tandis qu'elle est essentiellement ^éro, sur le périmètre de cette base.

On peut vérifier ici la conséquence signalée au § LXVI. Si Ton adopte exclusivement le groupe de valeurs (/ = 2/-f- 1 , f = 2;'), et que Ton compose M (20) avec OTi' (24 bis)^ on arrive à la série

\Hf)'

dans laquelle ■<?' et G" sont

X Y ce y

'vî>'=sin(2/*H- i)7r-sin2/7r sin2/7r-sin (27-+- i)ir->

e'»=[(v-Hi)'-*-(2/)']^-

Or, en changeant à la fois les «ignés au numérateur et au dénominateur de la fraction

(2/)^-(2y4-ir

on voit clairement que la nouvelle série (32) n'est autre que la première (26) écrite avec y*' au lieu de 7, et réciproquement. Ces deux séries sont donc identiques.

Généralement, la fonction V(i5), formée avec les

ia8 SEPTIÈME LEÇOH. — PRISME TRIANGULAIRE 7.

Uj (16), exprime Téial calorifique d'un milieu solide, indéfini dans tous les sens. La température est nulle, à toute époque, non-seulement sur les trois suites de plans orthogonaux qui découpent cet espace en prismes carrés égaux, mais en outre sur les deux familles de plans diagonaux représentés par les équations

où le paramètre n est un nombre entier. La symétrie inverse existe pour tous ces plans à zéro; et l'état initial d'un seul des prismes triangulaires composants, assigne celui de tous les autres.

PBISME CARmÉ. t2g

TÉTRAÈDRES i, ET ~

Deux plans diagonaux à xéro, ou sans flux. — Prisme triangulaire 7» — Refroidissement du cube. — Trois plans diagonaux à zéro. — Tétraèdre 7; son refroidissement — Six plans diagonaux à «éro. — Té*

traèdre —7; son refroidissement.

§ LXXIV