DISTINCTS EST

éOAL A :

Los forces extérieures non nulles dans Tétat d'éfuilibre naturel.

Les forces extérieures nulles dans Tôtat d'équilibre naturel.

ÉLASTICITé.

50 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ

On peut remarquer que dans le cas où les forces exténeures sont supposées nulles dans l'état d'équilibre naturel, W^ ne dépend que des a et des p, c'est-à-dire de la déformation ; mais il n*en est pas de même si Ton ne fait pas cette hypothèse particulière. Il n*y a pas là de paradoxe, car si les forces extérieures ne sont pas nulles et si le corps se déplace sans se déformer, c'est-à-dire comme un solide invariable de la mécanique rationnelle, les a et les p sont nuls et cependant les forces extérieures produisent en général un travail.

29. Cas des corps isotropes. — Nous sommes arrivés à l'expression suivante de la fonction U :

les intégrations étant étendues à tous les éléments dr du volume du corps ; W^ est un polynôme homogène et du premier degré par rapport aux a et aux p ; W^ est la somme d'uD polynôme homogène et du second degré par rapport à ce& mêmes quantités, et d'une combinaison linéaire des six polynômes n.

Si le corps est isotrope, les polynômes W^ et Wj doivent être eux-mêmes isotropes. Le seul polynôme isotrope du premier degré est la dilatation cubique :

On a donc nécessairement :

W| est homogène et du second degré par rapport aux neuf dérivées ; nous avons vu qu*il existe trois polynômes isotropes du second degré linéairement indépendants; nous pouvons prendre par exemple les trois suivants :

p, q^ r étant les composantes de la rotation moyenne ; nous allons remplacer le troisième par une combinaison linéaire des deux derniers ; nous avons :

Donc:

4(l)"+(i)'+(i)'+(i)'+fê)'-^(l)'}

et par suite:

II)' -2(,>+î'+'")=«î+«î+»î +'^^'^f*^

Nous prendrons donc les trois polynômes isotropes suivants