Lemme. — Soient
(, T[, C, trois fonctions quelconques de cc,y, z\
S, une surface fermée.
Nous posons :
-.=-i(£H|H^-[(D'+(|)'+(i)*+is(f+D']
dx ^ dy ' dz
et nous définissons de même Y, Z, Po;, Py, Ps par des équa* tions identiques aux équations d*équilibre d'un corps élastique.
Nous prenons trois autres fonctions quelconques Ç', t;', Ç', et nous formons de même les fonctions :
wi, 0', X', Y', z\ Pi, p;, Pi.
Gela posé, on sait que les équations qui définissent
X, I, Z, Fj;, Py, Pz
ont été obtenues en partant de TéquaHon des vitesses virtuelles :
AWjrfT+ AxSÇ-fYBTi-f-ZBQ t^T-f-yfP^BÇ+PyS-n-l-P.SO rf(D=:o
100 LEÇONS SUR LA THÉORtE DE l/ÉLASTICITÉ
Or :
dx
.d\dx dx
Cette équation a lieu quels que soient $^, Sr,, $Ct qui sont arbitraires. Si nous prenons par exemple :
l'équation des vitesses virtuelles devient :
S^ dx '^^ ^S'^^'' + ^^' + ^^"^ '^^
De même :
dx
+/{p;;-f»';^ + Piî)^c«> = o.
Mais Wj étant une forme quadratique des neuf dérivées, on a, d'après un théorème connu :
^^ ^ dx "■2j ^ (/;' dx
dx dx
PETITS MOUVEMENTS d'uN CORPS ÉI,ASTIQUE 101
Par suite :
+/[(Pxr + PyV + PcO - (Pi$ + p;vi + p='Ç)i ^0) = 0.
C'est l'équation que nous avions en vue.
Pour en déduire le théorème de Green, il sufflt de faire
On a alors : X = — fiiAÇ
el Téqualion devient
/(rAî-w.,= r(r|-Ef0
diù.
51. Application au problème dynamique. — Nous avons supposé les forces superficielles nulles et nous avons admis que les forces extérieures se réduisent aux forces d'inertie ; l'équation devient alors en supprimant le facteur p et remarquant que, les P élant nuls, la seconde intégrale disparaît :
,,d^\ . ,d\ , ^, dK r d^l' dh{ dK\ . __ ^
Cette équation est vraie aussi si Ton suppose le corps encastré dans une masse rigide, car 5, tj, Ç, ;', tj', C sont alors nuls k la surface, et la seconde intégrale disparaît encore.
Considérons deux vibrations simples possibles, c'est-à-dire posons :
1 = 1^ cos k^t I Ç' = Ça cosAj^
7| = 7|| COSA^/ ) 7j' = 7J2 cosAj^
Ç = Ç, cos k^t ( Ç' = tj cosAj^
Téquation devient :
(A? - kî)f{l^ + ^^' + «') rfT = o -et, en supposant les vibrations de périodes différentes :
/(5?' + ym' + çr) rfr = o.
On peut supprimer le facteur cosk^t cos k^t et écrire :
Cette équation démontre qu'un corps solide limité n'est pas susceptible de vibrations dont la période varie d'une manière continue ; il ne peut émettre que des harmoniques discrètes (il faut supposer le corps limité pour que les intégrales aient certainement un sens, le théorème ne serait donc plus applicable à un corps indéfini dans un ou plusieurs sens).
En effet, si A^ pouvait varier d'une manière continue jusqu'à devenir égal à A^, Ç^) 'Hs' ^s varieraient aussi d'une manière continue. L'intégrale
/(^iSa-F-ni-na + CiWc^T
serait donc une fonction continue de k^. Or elle est nulle
pour toutes les valeurs de k^ non égales à k^ ; elle serait donc nulle pour k^ = k^ ce qui est absurde puisqu'elle se réduit alors à :
/Uî + ^î + Ç?) dr.
Un corps solide limité ne peut donc pas émettre des vibrations formant, si Ton peut ainsi dire, un spectre continu, mais seulement des vibrations formant un spectre de raies.
52. Cherchons maintenant des mouvements vibratoires simples. Supposons pour simplifier p = 1 ; nous avons à intégrer les équations :
(x + i*)£ + f^AÇ = -An
avec les conditions à la surface correspondantes.
Mais il est plus simple de considérer Téquation unique qui résulte de Inapplication du principe des vitesses virtuelles. Le travail des forces intérieures correspondant à des déplacements hl^ 0T[, se est
Le travail des forces d'inertie est
104 LEÇONS SUR LA THÉORIE DK l'ÉL\ST1C1T^:
Nous avons donc
f 8Wj//t + k^f^loldz = o.
Il suffit d'ailleurs que les équations soient satisfaites pour t = o ; car si nous supposons ;, 7^ et 2^ proportionnels à cos A/, comme nous l'avons fait plus haut, le premier membre se réduit à cos^A^ multiplié par une quantité indépendante de /.
Nous poserons :
2j ,dldx^^ ^^' '*^
(Ix
et nous remarquerons que Ton a d*après des propriétés connues des formes quadratiques :
De plus:
Ces préliminaires étant établis, soient \, t), X, trois fonctions de X, y, z assujetties à vérifier la relation
W /(?» + ^' + C*) rfT =f^l'd. = l .
l'intégration étant étendue à tout le volume du corps considéré.
Considérons l'intégrale
PETITS MOUVEMKNTS d'uN CORPS ÉLASTIQUE 105
W, étant la fonction de ;, tj, Ç précédemment définie ; Wj est essentiellement négatif (car nous supposons X et fx positifs puisqu'il s'agit d*un corps solide). Cette intégrale a donc un minimum lorsque les fonctions l, r^, 1^ varient de manière à vériOer la relation (a). Supposons les fonctions ;, tj, C choisies de manière à atteindre ce minimum ; d*après les principes du calcul des variations, on a alors :
ChV^'^d-: + k^f^lhlch =z (,
quels que soient o;, St;, 8Ç, k* étant un nombre convenablement choisi.
Appelons Ç^, ti^, Ç^ les trois fonctions et k^ la valeur correspondante de A. Nous avons :
■fF{l,,hl)dT = k^f'^l,lldx
si nous faisons
S; = ;< Btj = r^^ 8Ç == Ç^
nous trouvons :
-/F{$„Ç,)dT = Aî/^rff/T
c'est-.^-dire :
k^ Le minimum est donc égal à -^> ce qui démontre que k^ est
positif, comme nous l'avions admis implicitement.
53. Nous allons lâcher de trouver d*autres solutions ; pour €ela considérons trois fonctions l, y\, C assujetties aux conditions :
L'expression — / WaC?T aura certainement un minimum,
lorsque S, 7|, ( varieront de toutes les manières possibles sans cesser de vérifier ces relations. Ce minimum sera d'ailleurs supérieur ou égal à celui que nous avons déjà trouvé, puisque nous nous sommes imposé une condition de plus pour les fonctions Ç, tj, Ç.
Les principes du calcul des variations nous apprennent qu'on peut trouver deux nombres h et k^ tels que Ton ait, ^/uels que soient les accroissements 5Ç, St), 8Ç :
fm.,dx + hf^l.Zld-z + k^jY^\l\d^ = o.
Nous allons démontrer que Ton a nécessairement ^ = o ; en effet, l'équation étant vraie, quels que soient 8Ç, Stj, SÇ, faisons-v :
8Ç = 1 871 = -n. sç = ç.
La troisième intégrale est alors nulle, puisque Ton a supposé
PETITS MOUVEMENTS D'uN CORPS ÉLASTIQUE 107
La première est nulle aussi. En effet pour 8Ç = Ç^, on a :
JsWjrfT =/f(Ç, Ï,Wt =fF (S^, f) efx.
Mais on a identiquemenl :
-J F (î„ SE) r/T = A? /25<5?e/T et si dans cette identité on fait SE = E» on trouve
-Jf (ï„ $) rfT = A? y^ç.srft = o
On a donc A = o et il reste :
ftW^dx + k^ /^ESÎrft = o
Soient E3, 7)2* ^2» ^^^ valeurs des fonctions l, tj, C et A2 la valeur de k correspondante ; on trouvera de même que la
valeur du second minimum est -?•
On trouverait de môme un troisième minimum en assujettissant E, y[, C aux conditions :
/25Vx = o
L'équatioD qui le donne est :
En faisant :
on obtient
et en faisant :
on a de mt^me :
Nous avons ainsi un troisième minimum, correspondant à
trois fonctions ïj, r,3, Ç3 et à un nombre A3 et ce troisième
minimum est précisément égal à -—•
On peut continuer indéfiniment, et on trouvera une série de nombres A|, à^, A3... k„, correspondant aux diverses vibrations simples dont le corps est susceptible. Ces nombres vont en croissant^ ou du moins ne décroissent jamais ; mais on pourrait craindre qu*ils soient tous nuls, et dans ce cas la solution n'auruit pas de sens.
Pour montrer qu'il n'en est pas ainsi, nous allons d'abord faire voir que les systèmes successifs de valeurs que Ton obtient pour Ç, tj, C sont indépendants, c'est-à-dire que Ton
ne peut pas avoir :
les X étant des constantes. En effet on a, par hypothèse :
Si nous posons
J 2;/5yrfT = tij
ttj sera égal à zéro si i est différent de y et à un si t =y, et il viendra d^ailleurs
c'est-à-dire :
On voit ainsi que tous les X sont nuls; par suite ^n + n "na^-i (a+i seraient nuls, ce qui est absurde puisqu'ils vérifient la relation
jy},i,,d^ = i.
Ce point étant établi, il est aisé de voir qu'il ne peut pas y
110 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ
avoir plus de six minima nuls, ëd effet, si Ton a :
— rWjf^T = o,
comme Wj est essentiellement négatif, Wj est identiquement nul, ce qui exige que les a et les ^ soient nuls.
Les six dilatations étant nulles, le corps se déplace à la façon d*un solide invariable. Or il y a six mouvements possibles linéairement indépendants : par exemple trois translations parallèles aux axes et trois rotations autour des trois axes. Il n'} a donc que six systèmes de valeurs indépendantes de l. Y), C qui donnent des minima nuls.
D'ailleurs puisque ces minima nuls existent, on les trouvera nécessairement ; on aura :
H^ = ^2 = A3 = A^ =3 Aj = «g = o
54. Tous les nombres A* que nous trouvons par cette méthode sont essentiellement positifs ; on peut se demander si Ton ne pourrait pas, en procédant autrement, trouver des solutions des équations telles que k^ soit négatif ou imagimire.
Les équations du mouvement seraient satisfaites pour
soit :
on a
PETITS MOUVEMENTS d'uN CORPS ÉLASTIQUE lit
Si les équations qui sont à coefficients réels admettent cette solution imaginaire, elles admettent aussi la solution imaginaire conjuguée.
Iq étant rimaginaire conjuguée de Iq.
De plus, à cause de la forme linéaire des équations, la somme de deux solutions est aussi une solution ; on obtient ainsi la solution réelle
Or cette solution est incompatible avec le principe de la conservation de Ténergie, l, tj, ^ sont en effet égaux à une
fonction périodique du temps de période — (ou une constante
par rapport au temps si a est nul) multipliée par une exponentielle qui augmente indéfiniment ou tend vers zéro lorsque le temps croit indéfiniment (suivant que ^ est négatif ou positif). Il en est d'ailleurs de même de leurs dérivées. Donc, pour un temps croissant indéfiniment, la force vive du système augmenterait elle-même indéfiniment — ou bien tendrait vers zéro, ce qui est absurde.
La démonstration suppose essentiellement le corps limité dans toutes les directions ; sinon on n'est pas assuré que le& intégrales employées ont un sens.
53. Pour achever cette étude des petits mouvements d'uncorps élastique, il resterait à faire voir qu'un mouvement
W'i LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ
quelconque peut ôtre considéré comme dû à la superposilion de mouvements vibratoires simples.
Supposons que nous ayons imprimé au corps une déformation quelconque cl que nous Tabandonnions à lui-même sans vitesse ; on admet généralement que Ton a :
5 = A^5i C^JSk^l + AjÇj cosAj^ +••• =" ^j ^nln cosAft^
Ç =^A„Ç;,cosA«^
Au point de vue physique, il est évident qu'il doit en être ainsi, car le nombre total des molécules du corps est fini. Les équations du problème peuvent s'obtenir en écrivant pour chaque molécule trois équations dilTérenlielles ordinaires, du second ordre, linéaires et à coefficients constants. Lintégraie générale d*un tel système est bien de la forme indiquée plus haut, le nombre des termes de la série étant égal à six fois le nombre des molécules.
On peut se demander si la proposition est encore vraie au point de vueanalylique, lorsqu'en fait on revient à la conception de la matière continue. Cette question a un intérêt purement mathématique et, par conséquent, il serait essentiel de la résoudre rigoureusement. Malheureusement, les ressources actuelles de l'analyse ne permettent guère d'espérer en trouver la solution. Nous admeltrons à titre de postulatum le résultat sans démonstration, par analogie avec ce qui a lieu pour les fonctions sphériques et de Lamé.
PETITS MOUVEMENTS d'uN CORPS ÉLASTIQUE 113
Si nous faisons,^ = o, nous avons les valeurs initiales de
Il en résulterait que trois fonctions quelconques S, 7|, C peuvent être développées en séries de cette forme : c'est là le fait analytique essentiel qu*il faudrait d^^montrer.
On pourrait être tenté de croire à Timpossibilité de ce développement, par un raisonnement a priori dont il importe de montrer Tinexactituile. Les fonctions ;/, y^^, C/ satisfont toutes à une condition : la pression k la surface est nulle. Il peut arriver que les fonctions initiales données ^, 7|, C ne satisfassent pas à cette condition ; il semble dès lors impossible que S, Y^, C soient des fonctions linéaires des ^/, 7|/, (/• On peut montrer par un exemple, emprunte à une théorie plus simple, la fausseté de ce raisonnement. On trouve facilement
2 4 /cos 2x , cos Ax , cor 6x , \ it it \ l.fi 3.0 5.7 ' /
œ étant compris entre o et ir. Le premier membre est une fonction impaire de o; ; le second membre est une série dont tous les termes sont des fonctions paires.
Si nous admettons la possibilité du développement, il est
114 LEÇONS SDR LA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ
facile de trouver les coefllcients  ; soient en effet
=Sa
Ajoutons ces équations multipliées respectivement par 5/rfT, 7|,c?T, î/rfr et intégrons à Tintérieur de tout le volume du corps considéré il vient :
= Ai
d'après les propriétés des fonctions $/. On a ainsi les formules :
•1=2 fij (55/ + "mi + KO dx
qui représentent certainement le développement cherché, si celui-ci est possible. Il resterait à montrer que ces formules sont exactes.
56. On peut, si Ton admet le postulatum énoncé plus haut, ramener le problème statique au problème dynamique ; il
PETITS MOUVEMENTS d'uN CORPS ÉLASTIQUE 115
faut trouver trois fonctions l, tj, ^ satisfaisant aux équations :
et à la condition que la pression soit nulle à la surface. (Nous avons vu, en effet, qu*on peut ramener le problème général à ce cas particulier.) Nous développerons X, Y, Z en séries de la forme :
X = ^^klk
Y 3=3 Va
k'^ik
Pour que Téquilibre soit possible, il faut que, si Ton assujettit le corps à être un solide invariable, les forces se fassent équilibre, ce qui donne les conditions :
fxd-: = o CYcIt = o TzrfT = o
/'(yZ— ^Y)rfT=o f{zS.—xZ)d'c=o f{xY—yX)d':=o
Il en résulte que les 6 premiers coefficients A sont nuls ; en effet, les 6 premiers minima sont nuls ; les déformations correspondantes sont de simples déplacements ; nous pouvons supposer, par exemple, que les trois premières sont des
LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ
translations parallèles aux axes, les trois autres des rotations autour des axes. On a alors :
G étant une constante, il en résulte :
A, =/(X$, + Yti, + IQ dT = cfxdT = o ;
de méoie :
Aft — A.9 ^— O.
On a ensuite :
A^ =/(XS4 + Yti, + Zî;^) dTz=p j\yZ - zX) rfx = o
et de même :
Av = A« = o
Gherchons maintenant une solution des équations (a) en posant :
les équations deviennent :
2^* [(^ + !^) ^ + !^^5*] = -2 AaÇ-
et deux équations analogues.
PETITS MOUVEMENTS d'uN CORPS ÉLASTIQUE 117
D'après les propriétés des fonctions Ikf ces équations s'écrivent :
ce qui permet d'écrire les équations :
Bikf = A,
qui donnent, pour les coefficients B, des valeurs finies. En effet, les 6 premiers coefQcients A sont nuls et il en est de même des six premiers nombres k : les autres sont différents de zéro. On a donc pour tous lesB, dont Tindice est supérieur à 6, des valeurs bien déterminées.
B|, Bj, B3, B4, B5, Bf se présentent sous la forme -• Il y a
bien une réelle indétermination ; on peut leur attribuer telle valeur que l'on veut; cela revient à déplacer le corps à la façon d'un solide invariable, ou, si l'on veut, à déplacer les axes.
