AP
ce qui s'écrit :
— ù)î [t? + P^ + r^) Ae''P = — p^ke^ ou :
Pour avoir une onde longitudinale il faut que la quantité
PROPAGATION DES ONDES PLANES ii3
\dx -\- y^dy + ^dz soit une différentielle exacte, ce qui exige :
La vibration est donc perpendiculaire au plan de Tonde. Il faut de plus que la vitesse de propagation soit «d,. Cette dernière condition donne évidemment :
Cherchons maintenant les solutions réelles qui correspondent à ces solutions imaginaires ; supposons que Ton ait trouvé :
A = A, + t'A, B = B^ + îTî, C = C, + iGa
et que les coefficients x, p, y« P soient réels, ce qui a lieu en général. On a alors:
e^ = cos P "h t sin P
et par suite :
Ç = A^ cos P — Aj sin P 7| = B, cos P — B, sin P Ç = C^ cos P — Ca sin P
On a quelquefois à considérer des cas où a, p, y, p ne sont pas réels, P est alors de la forme
•ov
1^4 LEÇONS SUR LÀ THÉOIUE DE l'ÉLASTIGITÉ
et Texpression de Ç, par exemple, devient :
l = A^e-P' cosP' — Aje-P' sinF
Elle contient donc un facteur périodique multiplié par un facteur exponentiel e~^' qui dépend du temps, si p est imaginaire.
Des ondes de cette nature se présentent surtout en optique où on les appelle ondes évanescentes ; nous verrons plus loin qu*on peut aussi en avoir besoin en élasticité.
59. Réflexion. — Considérons un plan indéfini que nous prendrons comme plan des œy^ nous supposons qu'au dessous se trouve un milieu élastique indéfini, le vide étant au dessus. Une onde se propageant dans le milieu élastique et rencontrant le plan des œy ne donnera pas d'onde réfractée car le vide n*a pas de masse et ne peut par conséquent pas emprunter de force vive au milieu élastique.
Si au lieu du vide on avait de Tair ou un milieu de densité très faible par rapport à celle du corps élastique, la force vive de Tonde réfractée serait aussi très faible et négligeable devant celle de Tonde incidente.
De plus la pression à la surface devra être nulle.
Nous prenons le plan d'incidence pour plan desyj^, les difi'érentes ondes planes seront parallèles à Taxe ox et par suite Ç, Tj, Ç, ne dépendront pas de x.
Soient donc :
RÉFLEXION iâo
^o> '^0» ^01 dépeiidant seulement de z^ les expressions de la vibration.
Quelle que soit sa direction, nous pouvons décomposer la vibration en deux autres, Tune parallèle au plan d'incidence, l'autre perpendiculaire à ce plan.
1^ Considérons la vibration perpendiculaire au plan d'incidence, elle est parallèle à oxy par conséquent située dans le plan de Tonde. L'onde incidente est donc transversale.
Par raison de symétrie Tonde réfléchie est aussi transversale.
Faisons tj = Ç = o, Téquation qui donne \ se réduit à :
Mais on a:
Oonc \ satisfait à Téquation:
Les deux autres équations sont satisfaites d'elles-mêmes puisque t^, S et sont nuls.
L'équation en \ est linéaire et à coefficients constants, on sait Tintégrer. D'autre part nous avons : Ç = ;Qô'^Py + ^'J, Ç^ ne dépendant que de z^ donc Sq satisfait à la même équation :
^^a — P ^0 - — ,^a Ço
puisque «J = ^*
126 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ
Soit \/^ — P"* = T» ï ^^'^ ^^^® ""® quantité réelle pour que le plan de ]*onde soit réel, on a :
et par suite :
Le rapport des deux constantes d'intégration, qui est aussi le rapport des amplitudes des ondes incidente et réfléchie, se détermine en écrivant que la pression est nulle à la surface.
On aura donc pour ^ ^=: o :
et, comme ô = tj = Ç = o, ces conditions se réduisent à :
— z= o pour z = 0,
Il en résulte A = B, ce qu'il était facile de prévoir d'après le principe de la conservation de l'énergie.
80. 2^ Considérons maintenant la vibration qui est parallèle au plan d'incidence. Elle le sera encore dans la ou les ondes réfléchies.
Posons
7^0 et Co ne dépendant que de z et cherchons à vérifier Ips équations (a) du N^ 57
La première est satisfaite d'elle-même.
On a d*autre part :
et
donne les deux relations :
\ dz ^ dz^ (tz^
Les deux dernières équations sont donc :
Elles s'écrivent en remplaçant yj, Ç par leurs expressions en
128 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ
fonction de tjq, Çq et ordonnant :
I* ^ + »'P (^ + I*) è - [(^+2(*) P' -PP'] >)o =
Ce sont deux équations du second ordre linéaires et à coefficients constants.
En éliminant Tune des quantités 7}o et Co« on trouve pour l'autre une équation du quatrième ordre à coefficients constants dont rintégration ne présente aucune difficulté.
On a donc pour iq^, Cq quatre solutions linéairement indépendantes. Elles sont faciles à prévoir. Supposons Tonde incidente longitudinale, on aura :
Y étant déterminé par Téquation :
L'onde réfléchie correspondante sera donnée par Tautre racine de l'équation en y :
Suppos(ms maintenant Tonde incidente transversale. Soit : ^'z + py = o le plan de Tonde au temps / = o, on aura :
y' étant donné par la relation :
L'onde réfléchie correspondante sera telle que :
La solution générale est donc :
Quand on donne la vibration incidente, on connaît A et C. Il s'agit de trouver B et D. On se servira, comme précédemment, de ce que la pression est nulle dans le plan des xy.
Des trois équations
qui doivent être vérifiées pour ^ = o, la seconde est satisfaite d'elle-même.
Les deux autres donnent :
(A + B) [X?** + (X + 2jx)r^] + 2(G - D) ^.^y' = o 2(A-B)Py + (C + D)(P«-y'^) = o
En tenant compte de ce*que
(X + 2.a) (p» + Y») = pp« = jx (p» + y'»)
130 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉUSTIGITÉ
la première s'écrit :
2 (C - D) pv- - (A + B) (p» - t") = o
Od a pour déterminer B et D les deux équations
(A-B)%+(C + D)(P»-t'>) = o (C D) 2pY - (A + B) (p*- /«) =
Le problème est complètement terminé.
Soit par exemple un rayon incident vibrant transversalement dans le plan d'incidence :
Il donnera deux rayons réfléchis de direction difiiérente vibrant l'un transversalement, l'autre longitudinalement. Pour le premier Tangle de réflexion est égal h Tangle d*incidence.
Soit t l'angle d'incidence, r Tangle de réflexion pour le rayon réfléchi qui vibre longitudinalement.
On a
tg i = °i tg r = -^
et par suite :
sin i = -»-— *
i et r sont donc liés par la relation :
sm i <oj
sinr ci)|
qui montre que le rayon suit la loi donnée par Descarte» pour la réfraction.
De même, si Tonde incidente est longitudinale, il y aura deux rayons réfléchis, l'un longitudinal pour lequel Tangle de réflexion sera égal àTangle d'incidence, l'autre transversal qui se réfléchira conformément à la loi d'optique de Descartes.
Si l'un des angles de réflexion devenait imaginaire, il est facile de voir que l'un des rayons réfléchis serait évanescent.
61. Il y a un certain nombre de cas où la réflexion ne décompose pas le rayon incident, la vibration étant parallèle au plan d'incidence.
Supposons que cela arrive pour un rayon incident vibrant longitudinalement, c'est-à-dire pour lequel G = o.
L'expression r^dy + X,dz doit être une difl(érentielle exacte; soit d^ cette difiiérentielle.
On a :
D'autre part les relations
dans lesquelles
donnent par l'intégration
et
Donc:
'=S+S=-*'+rv
et
dz ^ dy ^ dz
Les conditions à la surface N3 = T, = T| = o pour ^ = o se réduisent, puisque Téquation T^ = o est satisfaite d'ellemême, à :
pour z •=. o Le coefficient de <p ne peut ôtre nul ; donc cp = 0.
On ne peut supposer en môme temps ^= o, car cela
entraînerait A = B = o, ce qui est impossible puisqu'on a supposé Texistence d*un rayon incident.
Il faut donc que Ton ait soit jx = o, soit p = o avec cp = 0.
Le cas [x = o correspond à un fluide élastique.
Le cas p = o donne Tincidence normale.
Sauf ces deux ca^:, un rayon incident longitudinal est toujours décomposé par l.i réflexion.
Supposons maintenant que le môme fait se produise pour un rayon incident IransviTsal.
La condition G = o se réduit à :
dv ' dz
qui exprime que t^dz — Xjiy est une différentielle exacte cf'J^, On a alors :
d\ ^ dl ''^ = dz' ^="^
Les relations
l -^ ~ r,oe'{?y + '"'
où Ton a :
T,o=-CYVr- + DY'e--T
Co — Cpe'v'= + Dpe-'r=
donnent en intégrant :
iL = -> c'est-à-dire ^ = iBi ^ i6 dy ^*
et
Écrivons les conditions aux limites Nj = Tj =: T^ = o qui doivent être satisfaites pour z = o; remarquons que Tj = o est satisfaite d'elle-même, il restera :
Xô + 2u. ^ = o ' * dz
\ Kâ+i)=»
pour z = 0.
Maintenant jx est différent de zéro, car on a un rayon transversal; et [x = o entraînerait a)| = o.
Comme est nul à cause de cette transversalité, il reste les deux seules conditions :
1 $=-,!, 'if = o
(iz ^ dz
d^ ^(P^ dz^ dy^ ~ ^
La dernière s'écrit aussi : (/^ — pa) <j; == o.
Si les coefficients p et y'^ — p* ne sont pas nuls, les deux équations ne sont satisfaites que pour G = D=to, c'est-à-dire s'il n'y a pas de rayon incident.
Il faut donc p = o ou y'^ — pa.
p = o donne l'incidence normale p2 = y'=* donne Tincidence à 45®.
Dans ces deux seuls cas il n y a pas de décomposition et le rayon réfléchi est aussi transversal.
Dans tous les autres on a deux rayons réfléchis.
62. Vibrations possibles d'un corps élastique de dimensions finies. — Lamé croyait que les vibrations d'un corps élastique étaient ou uniquement transversales ou uniquement longitudinales. Nous verrons qu'il ne peut en être ainsi.
Gomment Lamé a-t-il eu cette idée et comment ne s'est-il pas aperçu de sa fausseté? Lamé se représente un corps vibrant non dans le vide mais dans Tair. Par conséquent, à la surface du corps la pression est différente de zéro et nor-
maie. Au lieu des trois conditions exprimant que la pression «st nulle à la surface du corps, Lamé n*en a plus que deux, liln ajoutant à ces conditions celle qui exprime que la vibration est transversale, on conçoit que le problème reste possible et déterminé et qu*il en soit de même dans le ca4S de vibrations longitudinales.
Lamé cherchait à trouver pour les l des expressions de la forme Ç = $/ cos A/< ; mais nous savons qu'un corps vibrant •dans Tair communique peu à peu sa force vive à Taîr, on doit donc trouver pour les l des expressions de la forme
l = Ç/g-*' COS kit.
Lamé n'arrive pas à ces formules.
Nous allons faire quand même le calcul de Lamé pour le prisme rectangle ; il présente un certain intérêt.
I. — Recherchons d'abord les vibrations longitudinales qu'il est capable d'éprouver.
Soient :
les équations des six faces.
E, 7|, Ç doivent être les dérivées partielles d'une même fonction op que nous prendrons ainsi :
;p = cosour. cospy. cosy^. cosp^
Nous aurons alors :
CD, étant la vitesse de propagation d'une onde longitudinale.
Supposons que a, p, y Eoient pris de telle sorte que:
m, n, q étant des nombres entiers, Lamé emploie la notation abrégée suivante :
cos oa? = c
( sin aur = 5 cospy=c'
sm py = s
cos yz = C
cosp^ =r On a par conséquent :
( sin ^z = s"
s = pour œ =z o ou a* = a s' = o pour y = o ou y = ^
5" zr: o pour Z = O OU Z = C
A la surface du corps, les composantes normales du déplacement sont nulles. Considérons par exemple les deux faces perpendiculaires à oœ, nous avons Ç = — as^c^T, et nous savons que s s'annule pour œ = o ei œ z= a.
Je dis que les composantes tangentielles de la pression sont nulles à la surface. Considérons en effet un point de l'une des faces œ z= o ou œ = a, la composante parallèle de la pression est :
dxdy c'est-à-dire :
2jXXp55'c"r
Elle s'annule évidemment pour œ = o et x = a.
Les conditions que Lamé s*impose sont donc remplies par le système de valeurs de Ç, tj, Ç considéré.
IL — Cherchons maintenant les vibrations transversales dont est susceptible le prisme.
Prenons :
7i = Qc5V'r
P, Q, R étant des coerficients constants et supposons que Ton ait choisi a, p, y de manière à vérifier
et les relations :
OUI == miz, elc
La condition de transversal! té = o donne
Pa + Qp + Ry = o
relation que nous assujettirons P, Q, R à vérifier. Dans ce cas les composantes tangentielles de la pression à
la surface sont nulles. En effet -r* + , se réduit ici à :
ai/ ' dx
— s (Pp^VY + Q(w'c''r)
c'est-à-dire contient le facteur s qui s*annule pour œ = o eiœ = a.
De plos nous remarquons que la composante normale
du déplacement est encore nulle à la surface, car l par exemple contient s en facteur.
Les conditions de Lamé sont donc remplies.
Mais les solutions trouvées correspondent à an problème que Lamé n'avait pas en vue et qui est le suivant :
Un corps rigide possède une cavité en forme de prisme rectangulaire, on y place un prisme élc^tique ; trouver les vibrations transversales et les vibrations longitudinales dont est susceptible ce prisme.
Le seul mouvement possible est en eflet le mouvement de glissement pour les éléments de la surface ; par suite, si nous négligeons le frottement, les pressions tangenlielles qui s'opposeraient à ce giissemeut doivent être nulles.
D'autre part, les composantes normales des déplacements doivent être nulles.
Examinons maintenant comment on peut se rendre compte de ce fait que les vibrations d'un prisme rectangle ne sont ni exclusivement longitudinales, ni exclusivement transversales.
Voici une manière élémentaire de se représenter la nature des vibrations propres d'un corps élastique.
Supposons une onde plane se propageant à l'intérieur d'un pareil corps ; elle se réfléchira sur les parois ; les ondes réfléchies subiront à leur tour de nouvelles réflexions et l'interférence de tous ces rayons produira une sorte de système d'ondes stationnaires ; c'est l'existence de ces ondes stationnaires qui détermine l'état vibratoire du corps.
Dans le cas d'un fluide, les ondes longitudinales peuvent seules se propager; un rayon incident longitudinal donne un seul rayon réfléchi qui est également longitudinal, et les
ondes stationnaires formées ne pourront être que longitudinales.
Dans le cas d*un solide, au contraire, un rayon incident se décompose par la réflexion en deux autres, Tun longitudinal et Tautre transversal ; les ondes stationnaires dues à l'interférence de ces divers rayons ne seront ni exclusivement longitudinales, ni exclusivement transversales.
D*autrepart, on ne pourra, même dans le caF simple du •parallélipipède rectangle, s'arranger de façon que le nombre des ondes interférentes soit fini, et c'est pour cette raison que la solution est beaucoup plus compliquée que ne le <3royait Lamé.
Cependant il y a des cas où la décomposition de Tonde •incidente en deux ondes réfléchies, Tune longitudinale, Tautre transversale n*a pas lieu et nous pouvons prévoir que dans certains cas tous les rayons dus aux réflexions successives seront de même nature et que par conséquent les ondes stationnaires seront longitudinales ou transversales. C'est en efl*et ce qui arrive, ainsi que nous allons le voir.
. 63. Vibrations du prisme rectangle. — Nous avons vu qu'il y avait des cas où une onde se réfléchissait sans se décomposer; à chacun d'eux correspond un cas où Ton peut résoudre complètement le problème du prisme rectangle.
Rappelons donc les divers cas où cette décomposition n*a pas lieu :
1^ L'onde incidente est longitudinale et tombe sous l'incidence normale ;
2^ L'onde incidente est transversale et tombe sous l'inci- ■dence normale ;
140 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ
3^ La vibration incidente est transversale et perpendiculaire au plan d'incidence.
Le second cas rentre dans le troisième, car Tincidence étant normale, le pian d*incidence est indéterminé et peut être pris perpendiculairement à la vibration ;
4^ L*onde incidente est transversale, la vibration est parallèle au plan d'incidence et Tincidence est de 45® ;
5* Le corps élastique est un fluide, c'est-à-dire jx = o.
L — Supposons que le prisme ait deux dimensions inflnies, c'est-à-dire se réduise à la portion de l'espace comprise entre deux plans parallèles a? = o, a? := a.
Considérons une onde longitudinale se propageant dans le prisme et tombant sur ses faces sous Tincidence normale. Nous aurons t) = C = o et nous prendrons :
l = cosour COB pi = cT
avec les notations de Lamé. Aésujettissons a et /> à satisfaire aux deux relations :
a* = — 5 et aa = 7nn
m étant un nombre entier. Les équations de l'équilibre intérieur sont évidemment satisfaites.
Considérons les équations à la surface :
dt/ dx
i^ + -^ = o dz dx
pour a? = o et a? z= a.
EXEMPLES DE VIBRATIONS Ul
La première donne, puisque tj = Ç = o,
-T- = o pour œ = o et x = a. ax
Celle condition est satisfaite puisque -7^ contient sin aur en facteur.
Les deux autres sont satisfaites d'elles-mêmes. Donc :
avec
/ \ = cos %x cos f.t
exprime un des états vibratoires du prisme.
IL — Considérons un prisme rectangulaire dont une seule dimension est infinie, soient :
les équations de ses faces.
Prenons un plan d*incidence perpendiculaire à ox et considérons une vibration transversale perpendiculaire à ce plan, nous aurons :
Nous prendrons :
; = cV'r
1i!2 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉUSTICITÉ
Il faudra d'abord satisfaire aux conditions à Tintérieur, c& qui donne la seule relation 6* 4- v^ = ^•
Si nous choisissons en outre p et y de façon que pb et yc soient dos multiples entiers de x, les conditions à la surface seront satisfaites.
Nous avons en effet = o, par suite les conditions relatives aux faces y = o et y = b seront :
'1 + ^^=0 dy d.r
La première et la troisième sont satisfaites d*elles-mémeSy
la seconde Test parce que -r- contient s' en facteur..
On vérifierait le même fait pour les faces jr = o et jy = c. On a donc un état vibratoire du prisme :
( Ç =c'c"T avec
f^b = nr.
yc = qT.
m. — Soit un prisme dont toutes les dimensions sont finies
et: 07 = y = o z =. o
les ("équations de ses faces. Nous allons considérer une onde transversale, le plan d*incidence étant toujours yozy la vibration sera parallèle au plan d'incidence, et Tincidence sera de ko\ Nous aurons Ç = o ; soit ^ = c'c^T^ nous prendrons
dz \ az
et pour que Tincidence soit de 45" il faut ^ = y.
Les équations de Téquilibre intérieur donnent la seule condition
et lî» relation 6 = -^ + -7- = o montre que la vibration est
dy ^ dz ^
transversale.
Si Ton suppose ^ tel que ^h = mz et en même temps
pc = q-K puisque p = y, ce qui exige que - soit un nombre ra-
tionnel, je dis que les conditions à la surface seront satisfaites. D'abord elles le seront sur les faces a; = o et â? = a. On doit avoir sur ces faces :
dv '" dy ' dx
14!2 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ
Il faudra d*abord satisfaire aux conditions à Tintérieur, cequi donne la seule relation B* 4- v' = ^'
' ' (Of
Si nous choisissons en outre ^ et y de façon que pb et yc soient des multiples entiers de tt, les conditions à la surface seront satisfaites.
Nous avons en effet = o, par suite les conditions relatives aux faces y = o et y = b seront :
\ d^ + Zv^""
dy "^ dz
La première et la troisième sont satisfaites d*elles-mémes^
la seconde Test parce que -r- contient s' en facteur..
On vérifierait le même fait pour les faces ^r = o et jar ^ c. On a donc un état vibratoire du prisme :
( \ = cVT
avec
pô = m: yc = qr.
[II. — Soit un prisme dont toutes les dimensions sont finies et:
les équations de ses faces. Nous allons considérer une onde transversale, le plan d*incidence étant toujours yoz^ la vibration sera parallèle au plan d'incidence, et l'incidence sera de 45*.
Nous aurons Ç = o ; soit ^ = c'c^r, nous prendrons
et pour que Tincidence soit de 45"* il faut ^ = y.
Les équations de l'équilibre intérieur donnent la seule con> ditlon
et b relation 6 = -jl + j" ^ ^ montre que la vibration est
transversale.
Si Ton suppose p tel que ^h = mz et en même temps
Pc = qit puisque p = y, ce qui exige que - soit un nombre ra-
tionnel, je dis que les conditions à la surface seront satisfaites. D'abord elles le seront sur les faces a? = o et a? = a. On doit avoir sur ces faces :
doc " dy "^ dx
dz ' dx
LEÇONS SUR LA THÉORIE DE L'ÉLASHCrTÉ
Or $ = 0, 7) et C sont indépendants de x. Les relations sont donc satisfaites.
Considérons les faces y = o, y = ^.
On doit avoir :
dy dy"^ dz
c/y ""^ dx
La troisième condition est satisfaite d'elle-même, la première Test parce que -y- contient «' en facteur.
Il reste
c'est-à-dire :
ou encore :
^ + 5^ = dy ' dz
d^ d^'\f dy^ "" dz^
relation satisfaite parce que 6 = y.
La vérification se ferait de même pour t = o et z = c ;
