IV. — Cas des fluides, fx = o
Cherchons toujours des vibrations périodiques de la forme
Iq étant indépendant de t.
Les équations de l'équilibre intérieur sont, puisque (a =: o :
1 ^^ ff
1 ^^ ar
Ç, Y|, C sont donc proportionnels aux trois dérivées partielles de 0, il en résulte que Idœ + y\dy -|- l^dz est une différentielle exacte.
Diiïérentions la première des équations par rapport à x, la seconde par rapport à y, la troisième par rapport à ^ et ajoutons, nous aurons :
ÉLASTICIT6. 10
ce qui s'écrit :
puisque :
et que (x = o.
La pression est nulle à la surface, on a donc, puisque [«. = o, = o à la surface.
Le problème est très facile à résoudre pour un prisme rectangle, il suffit de prendre :
6 = ssYr
avec a* + p^ + Y^ = ~ ®^ *^» P^î Y^ multiples de ir.
En effet, à la surface, Tune des trois quantités s, s\ s" s*annule.
Ce n'est pas ainsi que se pose, en général, le problème dans le cas des fluides. Quand on a un gaz enfermé dans une capacité rigide, ce n'est pas la pression qui est nulle à la surface, c'est la composante normale du déplacement.
Nous avons vu que Ç, tj, C sont proportionnels à -t-î -t-» -t—
La composante normale du déplacement est donc :
X de
pp' dn
db Il faut T- = 0, on y satisfera dans le prisme rectangle en
prenant B = ecc T.
EXEMPLES DE VIBRATIONS 14*i
En effet, pour une face perpendiculaire à ooj, par exemple,
dfi de an dx
-7- contient donc s en facteur.
dn
Ces deux problèmes, celui qui consiste à satisfaire aux
équations de Téqui libre intérieur avec 9 = o à la limite et
celui qui exige -7- =: o à la limite, se retrouvent dans la
théorie de la chaleur.
Si on considère un corps qui se refroidit et dont la surface est maintenue àO°, c'estle premier problème qu'il faut résoudre ; si on suppose la surface impénétrable à la chaleur, c*est le second.
64. Vibrations d'une sphère. — Les cas où Ton sait résoudre le problème de Télasticité pour la sphère ne sont pas beaucoup plus étendus que pour le prisme rectangle.
Le cas le plus simple est celui où Ton suppose les vibrations dirigées suivant les rayons et le déplacement d*un point fonction seulement de sa distance r au centre de la sphère.
Dans ce cas la vibration est longitudinale. En effet Ton a :
et par suite :
\dx -f- r^dy -f- X^dz = f[r)xdr = c?cp
(p est une fonction ne dépendant que de r et de ^ et dont les
UH LEÇONS SUR LÀ THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ
trois dérivées partielles par rapport hx,y, z sont les composantes du déplacement.
Supposons que ^, tj, C ne dépendent du temps que par un facteur cosp^ les équations à l'intérieur sont :
(^ + c^) £ + i^A? = - pp«
Mais ici :
0= — 4-^^4-^ = A G^ dx
Les équations de l'équilibre interne s'écrivent donc
(i+vi^=-,."2
ou encore :
dos (ûl dx
On satisfera évidemment à ces équations en posant :
car elles expriment que les trois dérivées partielles de
sont nulles. Cette quantité est donc une constante et comme (p n'entre dans le problème que par ses dérivées on peut supposer cette constante nulle.
En coordonnées polaires Téquation qui définit (p s'écrit :
dr^ r dr ' a)i son intégrale bien connue est :
avec a* = ^» ou en remarquant qu'on a pris ^ (t) = cos pt
, sin ar
9 = cos pi.
L'équation étant du second ordre admet aussi la solution
, cosar cp =: cosp^
mais cette solution devient infinie pour r = o, on doit la rejeter.
Glebsch a traité ce problème, mais il a obtenu la solution sous forme de série, et je ne sais pourquoi il n'a pas vu que cette série se ramène aux fonctions trigonométriques. Il avait pris pour inconnue
lËî.
r dr
Pour achever le problème il faut exprimer que la pression est nulle à la surface, cela nous donnera a et par conséquent p.
ISO LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTIGITÉ
Considérons un point M quelconque de la sphère, le rayon OM doit être un axe de symétrie, par conséquent la pression en M est normale. D'autre part, la pression est la même en tous les points de la sphère ; il suffira donc d'écrire qu'elle est nulle en un point déterminé, par exemple le point situé sur ox.
Pour ce point
y =2 z =z oetâ7=:a La pression normale est :
pour qu'elle soit nulle, il faut donc que Ton ait :
dx^
Mais nous avons trouvé :
et l'on a évidemment au point considéré :
dx dr
o?*qp (P^
dx^ dr^
Donc en tenant compte de :
dr^ r dr
QL*Cp
EXEMPLES DE VIBRATIONS i^
l'équation (1) s'écrit :
D'autre part
, sinar cp = cospt.
tt satisfait donc à Téquation :
(X + 2^) Qt^ cosp^ —^ + -;: cosp^^— j;— - —^ I =
pour r =: a, a étant le rayon de la sphère.
Celte équation s'écrit après simplification :
[(X -[- 2(x) a*éi* — 4(x] Igaa + 4[jLaa = o
C'est une équation transcendante qui a une infinité de racines réelles.
Faisons en efiFet varier na entre (2A — 1) - et(2Â + 1) ^î
k étant choisi suffisamment grand pour que le coefficient de tgaa soit positif.
Le premier membre prend toutes les valeurs de — « à -}- ^ , donc il y a au moins une racine dans l'intervalle considéré. Il est facile de voir qu'il n'y en a qu'une.
L'équation n'a pas de racines imaginaires, cela résulte d'une démonstration générale faite plus haut.
65. Dans tous les exemples donnés nous avons trouvé des vibrations exclusivement transversales ou exclusivement longitudinales. Nous avons dit que ce n'était pas le cas général. Nous allons donner un exemple assez simple, que nous
152 J.EÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLÂSTIGITÊ
devons à M. Brillouin, de vibrations à la fois transversales et longitudinales.
Nous savons que si Ton prend :
, sinocr (p = cos pt.
<ûj
^ar conséquent :
ç^ pf rf<p dœ (ùl ax
c'est-à-dire que si ^ est une solution de l'équation (i) il en
est de même de ^*
Si donc on pose :
dœdy dxdz
Ç, 7|, Ç satisferont comme -j^î -j^» -^ aux équations de l'équilibre intérieur :
mais ne satisferont pas aux conditions aux limites.
on aura :
^ dH "•" dz
6 se réduit à la valeur qui correspond à la vibration longitudinale, c'est-à-dire :
= A ^ =r - a« ^ dx dx
Nous allons calculer les pressions à la surface. Considérons l'axe ox^ tout est de révolution autour de cet axe. Les pressions et les déplacements sont donc distribués de même dans tous les plans qui passent par ox et il suffira d'étudier cette distribution dans Tun d'eux, par exemple dans le plan desrry.
Prenons dans ce plan des coordonnées polaires. Soient :
