X :r=i r COS M
y = r sin î4
les coordonnées d'un point M ; après la déformation ce point vient en M' de coordonnées a? -}- Ç, y -j- tj ou r -f- p, m -f- w. Je vais calculer p et w. Pour cela je remarque que
\dx -|- y^dy -f- ^dz
est le travail que produirait une force fictive de composantes S, Y|, C appliquée au point x, y, z pour un déplacement dx^ dy^ dz de ce point. Or, on a :
\dx + y^dy 4- Xjdz = rfH + ^^dx
15i LtÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ
l salis Fera quel que soit B à l'équation :
Cherchons à remplir la condition 6 = o ; on a : Il suffit donc de prendre B = S^ = ^'
to)f
Nous avons ainsi deux solutions des équations intérieures, l'une représentant une vibration longitudinale, l'autre une vibration transversale.
La somme de ces solutions sera encore une solution et on aura :
^ ~ dx^ "^ da^^ "^ P^'^
* dxdj/ "^ dxdy
\ dxdz "^ dxdz
avec :
, sinar , ^ sinBr
(p ^= cos/3^ — ;— > ^ = Acospt, — ^
iO.2 b)|
Cette solution comporte donc deux indéterminées A et p. Cherchons à en disposer de façon à satisfaire aux conditions à la surface. Posons pour abréger :
c/iC dx
on aura :
" dy . dH
se réduit à la valeur qui correspond à la vibration longitudinale, c'est-à-dire :
z= A ^ = - «» ^ dx dx
Nous allons calculer les pressions à la surface. Considérons Taxe ox^ tout est de révolution autour de cet axe. Les pressions et les déplacements sont donc distribués de même dans tous les plans qui passent par ox et il suffira d'étudier cette distribution dans Tun d'eux, par exemple dans le plan desrry.
Prenons dans ce plan des coordonnées polaires. Soient :
a? nr r cos u y z=z r%m u
les coordonnées d*un point M ; après la déformation ce point vient en M' de coordonnées a? + Ç, y -|- vi ou r -f- p, m -|- w. Je vais calculer p et w. Pour cela je remarque que
\dx -|- r^dy -|- ^dz
est le travail que produirait une force fictive de composantes ^) iq, C appliquée au point x, y, z pour un déplacement dx^ dy, dz de ce point. Or, on a :
\dx 4- r^dy -^ X,dz = rfH + ^^dx
156 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLÂSTICITÉ
Dans le plan des œy^ C = o ; supposons que le déplacement virtuel dx, dy^ dz se fasse aussi dans ce plan de telle sorte que dz = o.
Exprimons le travail en coordonnées polaires. Les projections de la force fictive seront p et ro), les déplacements parallèles seront dr et rdu. On a d'ailleurs :
dœ = COPM dr — r sinw du.
Donc :
pdr -j- r^tûdu = c?H -f- P*+ {cosudr — rsinudu) Identifions, nous aurons :
dïl
D*après leur définition, (p et <]/ ne dépendent que de .', soient cp' et ^' leurs dérivées par rapport à r.
H = (?' + f) ^ = (?' + ^O ^ = {f + 4-') cos«
Posons H| = (p' + +'> H, ne dépendra que de r, on aura
H = H| cos u.
Nous avions trouvé
on aura de même en posant :
Ce sont les deux équations qui doivent déterminer A et/}, elles doivent être satisfaites pour r z= a^ quelque soit m.
Divisons la première de ces équations par cos w, la seconde par sin m, elles deviennent :
-?« + *• rf;^ = ^
f^, (i)|, 0| ne dépendent plus que de r; les équations sont donc indépendantcR de u.
Faisons-y r = a et remarquons que les équations sont linéaires en A. Il sera donc facile d'éliminer celte inconnue et on aura une équation transcendante pour déterminer p. Celte équation a toutes ses racines réelles d*après une remarque générale faite plus haut. A chacune de ces racines correspond pour A une valeur finie, différente de zéro et bien déterminée ; la vibration trouvée n'est donc ni exclusivement transversale ni exclusivement longitudinale.
66. Rayonnement de la force vive élastique dans l'air. — Jusqu'à présent nous avons supposé que le corps élastique considéré vibrait dans le vide. Si la vibration se produit dans l'air il y a perte de force vive, l'amplitude de la vibration va constamment en diminuant, la pression n'est pas nulle à la surface du corps, toutes circonstances qui compliquent encore le problème. Aussi nous nous bornerons à un cas très simple, celui où le corps élastique est un prisme rectangulaire qui a deux dimensions infinies, c'est-àdire la portion de l'espace comprise entre deux plans parallèles.
158 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ
La première forme montre que, pour exprimer que la pression sur rélément de la sphère, perpendiculaire à oo?, est nulle, c'est-à-dire que N^ = T3 = Tj, il suffit d'écrire que Tellipsoïde des pressions relatif à un point de cet élément est un cylindre dont les génératrices sont normales à l'élément.
Considérons l'intersection de Tellipsoïde relatif au point a; = a, y = 0, ^ = o, avec le plan des ary, elle devra se réduire à deux parallèles à ox.
Nous avons :
( ds^ = dr^ + r^dii^ + dz^
I dsdts := drdp -f- rpdu^ -|- r^dudoy -f- dzdl^
et les identités :
\ ^ dr du
«w = -;- ar 4- -p- aî< dr ' du
L'équation de Tcllipsoïde est donc :
(x.4-2.^.)c^'-'4-2,(|+,.«^).,-rf« +
Pour que Tellipsoïde se réduise à un cylindre parallèle k ox il faut et il suffit que les coefficients de dr^ et de drdu soient nuls.
On doit donc avoir :
Xô + 2a -f rzr O
* dr
rfw ' dr
Ce sont les deux équations qui doivent déterminer A et /}, elles doivent être satisfaites pour r = a, quelque soit u.
Divisons la première de ces équations par cos u, la seconde par sin m, elles deviennent :
ff, (i>i, 0, ne dépendent plus que de r; les équations sont donc indépendantes de u.
Faisons-y r = a et remarquons que les équations sont linéaires en A. Il sera donc facile d'éliminer celte inconnue et on aura une équation transcendante pour déterminer p. Cette équation a toutes ses racines réelles d*après une remarque générale faite plus haut. A chacune de ces racines correspond pour A une valeur Qnie, différente de zéro et hien déterminée ; la vibration trouvée n'est donc ni exclusivement transversale ni exclusivement longitudinale.
66. Rayonnement de la force vive élastique dans l'air. — Jusqu'à présent nous avons supposé que le corps élastique considéré vibrait dans le vide. Si la vibration se produit dans l'air il y a perte de force vive, l'amplitude de la vibration va constamment en diminuant, la pression n*est pas nulle à la surface du corps, toutes circonstances qui compliquent encore le problème. Aussi nous nous bornerons à un cas très simple, celui où le corps élastique est un prisme rectangulaire qui a deux dimensions infinies, c'est-àdire la portion de l'espace comprise entre deux plans parallèles.
Soient
a? = Xq
.r =+ Xq
ces deux plans : nous supposons qu'il y ait de l'air des deux côtés et que Ton ait -ri = Ç = o, Ç ne dépendant que de x et de t, C*esl dire, en d'autres termes, que le mouvement vibratoire se fait par ondes planes longitudinales, parallèles à yoz. Dans le corps élastique, c'est-à-dire pour — a?Q < a? < a?^, l'on doit avoir :
a étant la vitesse de propagation des ondes longitudinales dans le solide.
Dans l'air, c'est-à-dire pour \ x \ > x^y cette équation est remplacée par :
dt^~~' dx*
b représentant la vitesse de propagation des ondes longitudinales dans l'air.
Les conditions aux limites seront les suivantes : à l'origine
du temps on devra se donner \ et —•
/y Supposons -T- = o, dans Tair et dans le corps élastique,
et ; = o, dans l'air, au temps zéro, c'est-à-dire que l'air part du repos. Nous supposerons que, pour ^ == o, ^ est une fonction de x connue entre — x^ et a?Q.
Pour simplifier l'écriture, nous pouvons même supposer que cette fonction est une fonction paire de x. Si la symétrie
EXEMPLES DE VIBRATIONS 16t
par rapport au plan a? == o a lieu au début, elle subsistera toujours. Cette dernière hypothèse restreint Ç à ne plus contenir qu'une fonction arbitraire de a?, au lieu de deux, mais je n'ai en vue que de donner un exemple aussi simple que possible.
Les équations dont dépend l sont en effet les équations des cordes vibrantes. On connaît leur intégrale générale.
Dans le corps, c'est-à-dire pour — ^o< ^ <00q
l = F{at + œ) + F{at'^x)
(on a la même fonction F parce que l est paire). Pour 07 > a?Q on doit avoir :
Ç = (p (6^ -}" ^) + ?i (*^ — ^) enûn pour a? < — x^
l=z (^ (bt — ^) -j- «Pi {àt + ^)
Les fondions (p et 9^ ne sont d'ailleurs déterminées qu'à une constante près, qu'on peut en effet toujours ajouter à 9 à condition de la retrancher de cp|.
Au temps ^ = o, l = o dans l'air, donc pour a? > a?Q :
Mais on a aussi au début :
donc :
ÉLASTiaTÉ. 1 1
i(Si LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉUSTIGITÉ
La première relation diiïérentiée donne :
?'{^)—?i (-0?) = o Il en résulte :
f et ^1 sont donc des constante^- que je puis supposer nulles, d'après une remarque 'aite p^js haut, puisque leur somme est nulle.
f et 9| seront donc nul^ toutes les fois que leur argument sera supérieur à Xq.
L'argument de 9, c'est-à-dire bt -j- œ, est toujours, dans la région située du côté des œ positifs à partir de œ^^ supérieur à (Vq,
Donc pour x > Xq on su
5 = ?< (*^ — ^) et pour œ < — Xq,
l = f^ {bt + x)
Écrivons les conditions aux limites ; l doit être le même pour X = Xq^ qu'il soit considéré comme déplacement d une particule d'air ou d'une particule du corps élastique.
Donc on doit avoir, quel que soit t :
(i) F {at +x^) + Y [at - x^) = cp^ {bt — x^)
La considération de a? = — a?Q donne évidemment la même équation.
La pression doit pour x = Xq être la même dan»
Tair et dans le corps solide. Dans le solide, elle est normale et égale à Xô -|- ^f* ^» c'est-à-dire à (X -{- 2[x) -j^*
Dans Tair elle sera aussi proportionnelle à -r-* Mais le coefficient de proportionnalité sera différent. Donc poar œ =. œ^ la valeur de ^ dana le solide sera dans un rapport constant
avec la valeur de rr- dans Tair, ce qui se traduit, en désignant par h une constante, par l'équation :
Différentions l'équation (1) par rapport à t, nous aurons :
(!') r [at + ^o) + F' («^ - ^o) = ^ ? * (*^ - ^o)
Les équations (2) et [{.') montrent que le rapport de deux quelconques des trois quantités :
r[at + x^), F(a^ — a?o), ?;(*< — ^o)
est une constante. En particulier :
F' {at + Xç.) . b — ha
—-J ' — ^ =z const. = r— ; — r —
F {al — Xq) b + ha
Cette constante est positive, car elle diffère peu de ce qu'elle est dans le vide où b est infini et où par conséquent la constante se réduit à i.
Désignons-la par e-^^:
En posant at — Xq^ y on aura :
F' (y + 2a?o) = «r-aior. p' (y)
Posons: V (y) = «"^y F' (y) nous en déduirons :
W iy) est donc une fonction périodique qu'on peut développer en série
yy [y] =2^-^ " •
Alors :
On a finaleuient :
Xq
c'est-à-dire .
$ étant une fonction périodique de t dont la période est
Cette fonction ^ est représentée par une série de sinus et de cosinus qui est précisément la série des harmoniques
successives d*une vibration de période — ^- Les périodes de ces
harmoniques ne dépendent pas de K, elles sont donc les mêmes quel que soil le milieu dans lequel le prisme est plongé et en particulier pour le vide.
Le facteur er^^ fait connaître la rapidité de Textinction ; on voit qu'elle est la même pour tous les harmoniques.
Ces propriétés ne sont probablement pas vraies pour un corps vibrant de forme quelconque.
