CHAPITRE VII
67. Considérons un cylindre homogène qui n'est soumis à aucune force extérieure non superficielle. Nous faisons par conséquent abstraction de sa pesanteur. Nous supposons en outre qu'il n'y a pas de forces superficielles latérales, de telle sorte que les seules forces agissant sur le cylindre soient appliquées aux deux bases. En les composant comme si elles étaient appliquées à un solide invariable, elles doivent évidemment se faire équilibre.
Saint-Venant faii une hypothèse de plus ; il suppose à l'intérieur du cylindre N, = Nj = T3 = o. Nous verrons plus loin la raison de cette hypothèse.
Cherchons quelles relations elle établit entre l, irj, Ç.
On a les trois équations :
(!) / X9+2pu$i
dy
PlIOfiLÈMF DE SAINT-VENANT 167
Les deux premières donnent :
rfÇ rfij
dœ dy
et par suite:
dx * dy * dz dx ' dz
Cette valeur portée dans la première des équations (i) conduit à la relation :
qui, en posant :
donne :
dz dx "Sy
Par conséquent la valeur de trouvée plus haut s'écrit : OU encore :
Cela posé, considérons les équations de Téquilibre intérieur:
dx * dy dz
dx ^ dy dz dnL\ , rfT, , rfN,
Nous avons N^ = N^ = T3 = o, par conséquent Jes deux premières donnent :
c'est-à-dire
dz dz
d?\ , dK d?+d^z='''
d\ dK dz^ ' dydz
La troisième est d'ailleurs :
et, en tenant compte de l'expression de ô avec -t->
dK
ce qui s'écrit en développant AÇ :
dx'^ "^ dy^'^ dz^ "■ ^*
Toutes ces équations ont lieu à Tintérieur du cylindre ; à la surface latérale, il faut écrire que la pression est nulle.
Soient, en un point de cette surface, cosp, sinp, o, les cosinus directeurs de la normale au cylindre prise vers l'extérieur, les génératrices étant supposées parallèles à ox ; les trois composantes de la pression sont :
N^cosp + Tgsinp T3COSP -f- NaSinp Tjcosp -t" T^sinp
En écrivant qu^elles sont nulles et tenant compte de ce que N| = Nj = T3 = o, on a la seule condition :
Ta cosp -|- 'ï'^ sin p = o
tout le long de la section droite du cylindre puisque Tj et T| ne dépendent pas de z.
68, Je me propose de déterminer Ç, tj, Ç d'après ces équations ; il sera facile ensuite de trouver les forces qu*il faut appliquer aux deux bases pour produire la déformation.
Nous avons obtenu les conditions :
di dy^
dx dy <
d\ rfr,
dy dx
Elles expriment que \ + iti est une fonction de la variable complexe œ -|- iy. Posons a? -f- ly = m, Ton aura :
l + ir^ = nu.^)
Quelle est la forme de la fonction / ? Nous savons que :
^ = K — = K —' dz dx dy
d^ + d^z^" \ dz^ dydz Les deux dernières relations s'écrivent en tenant compte
de la première :
Revenons à la relation Ç -|- iti = /* [u^z] ; différenliée par rapport à œ elle donne :
di , .dy\ __d[^ dx ' dx du
dx^ "^ dx^ ~" du^
d *où Ton conclut en désignant d'une façon générale par A (<!»] la partie réelle de ^ :
dx ' \du)
On aurait de môme en difTércntiant par rapport à y :
dy^ "^ * e/y*^ "" du}
La partie imaginaire de -r-^ est donc aussi : — i -pj et l'on peut écrire :
du? dx^ dy^
ou en désignant par <F l'imaginaire conjuguée de 4>,
PROBLÈME DE SAINT- VENANT i7i
Cette équation va nous servir pour déterminer f. Multiplions la seconde des équations (a) par i et ajoutons-la à la première, nous aurons :
c'est-à-dire
ou
dz^ "" ^ du}
Le premier membre est fonction de u et de Zy le second
de u et de jr, pour que Tégalité puisse avoir lieu il faut que les deux membres ne dépendent que de z.
Donc :
et par suite :
f-= a -\- bu -{- cu^
a, by c étant des fonctions de z. Portons celte valeur dans
dz^ du^
nous aurons :
d^a . fi'^b , « d^c c^TT "
Mais H et x sont des variables indépendantes, cette relation
exige donc :
1? = '' cPc
ô et c sont par suite des polynômes du premier degré en z et a est du troisième degré.
Nous connaissons /* (m,^) = Ç + ^^> c'est-à-dire Ç et i); il 8*agit de déterminer C-
Partons pour cela de la relation '.
On a :
az aœ \du J
du '
AT
il en résulte que -jr est du premier degré par rapport à Tune quelconque des trois variables a?, y, z. Soit :
01 et p étant du premier degré en a? et 5^ ; intégrons, nous aurons :
Mais C doit satisfaire à Téquation :
c^a?» ^ rfy« "T" ^ dz^ ""
F vérifie donc la relation :
p est un polyuôme linéaire en x et y, soit
— 2p = A -f R» + Gy À, 6, G étant des coefficients constants, Téquation en F sera :
AF = A + Ba? 4- Cy Elle admet une solution évidente :
Posons F = ^ -f~ ^f ^^ nouvelle inconnue û satisfera à :
AU = o
Cela ne suffit pas pour la déterminer ; mais nous avons encore à tenir compte de la condition :
Ta cos p + T^ sin p = tout le long de la section droite, c'est-à-dire :
Or
donc :
^C08p-f-^8mp=^
de, d\ I ^^ •
:7- + -p cos tt + V- sinp = o
an ^ as ^ * dz ^
174 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ
Nous avons d'ailleurs trouvé :
On a par conséquent :
— - = — rf '- — - cos » — 3-' sin p
an an an dz ^ dz '^
c*e8t-à-dire une équation de la forme :
OÙ V est connue si on donne la section droite du cylindre.
En résumé, le problème revient à trouver nne fonction Q de X et y^ qui à l'intérieur de la section droite satisfasse à
l'équation de Laplace Au = et telle que --r- ait des valeurs données sur le contour de la section.
69* Si le problème comporte une solution, il en comporte une infinité, car on peut ajouter à û une constante arbitraire. A part cette constante, û est complètement déterminé.
Le problème a-t-il toujours une solution ? Le théorème de Green donne :
— ds=z j ùkQdtû,
la première intégrale étant prise le long du contour et la seconde étendue à toute la section. Mais l'on a Au = 0, par
conséquent il faut :
— ds=:o ou y V (a?, y) rf* = o
A quoi correspond cette condition ?
Nous avons trouvé :
dû '^("•+p|)^rfv rfç a..
et comme on a:
dx r=z ds, sinp dy := — ds, cos p
-7- d!î == o s'écrira :
dn
/ dn ^ + / rf;i*+j (rf^'*^-^''^)=«'
Considérons les deux premières intégrales.
Le théorème de Green donne :
et comme a et p sont linéaires en a; et ^
d(rz + P f)
ds = o.
dn
Appliqué à 1 -j- ûfe, le môme théorème donne :
J ^ds.le
dn
ds = rA'j/rfo) = r(A + Ba: + Gy) dut
d*après la déflnition de •{/.
Pour transformer la troisième intégrale, nous nous appuierons sur une autre forme du théorème de Green :
Fille donne :
Mais nous avons les relations :
dxdz dydz K rf^'
et comme
