az+p^ + V + û
on a aussi :
La relation
— - cr5 = o dn
PROBLÊME DE SAl?rr-VENANT 177
s'écrit donc :
J\k + Bo? 4- Cy] G?(o — ^^(A + Ba? -^Gy) rfo) = o
ou encore :
(i - 1) /(A -f B^ +Cy)rfa> =0.
Le facteur 1 — t7 qui est g, .> , \ n'est pas nul, on a donc
f(K + Bo? 4- Cy) d(ù = o.
Prenons comme axe des z la parallèle aux génératrices qui passe par le centre de gravité de la section. On aura
/ xdiù = 0, / ydiù = o.
Il reste A j day = o ei comme j dm qui représente Taire
de la section n'est pas nul, cela exige que Ton ait : A = o. A quoi cela correspond-il? On sait que A est le terme
constant de -r^ à un facteur près.
Or:
= Ka(^) = Ka(ô-f 2cm)
donc :
ce qui donne :
db^
La condition pour que le problème soit possible est donc que la partie réelle de -r- soit nulle, c'est-à-dire que — soit
purement imaginaire.
Combien y a~t-il de constantes arbitraires dans la solution que nous venons de trouver ?
Nous avons
f'= a -{- bu -\- cu^
a étant du troisième degré renferme quatre coefBcients, h et c en contiennent chacun deux, mais comme c est déterminé quand on connaît a, d'après la relation :
il n'y a en tout que six coefficients complexes, c'est-à-dire
douze constantes réelles. On connaît alors o^ -f" ? T ^^ ^» ^
reste à déterminer Q, ce qui introduit une constante de plus.
Mais la condition A ( — J = o en fait disparaître une, il n'y
a donc finalement que douze constantes.
Les quantités S, r,, C dépen4ent linéairement de ces douze constantes. Si donc on trouve d'une manière quelconque douze solutions particulières indépendantes, on aura la solution générale en les combinant linéairement.
11 y a six de ces solutions qui sont évidentes, ce sont les six déplacements que le cylindre peut subir sans se d<^former.
Los six autres seront données par des déformations simples correspondant à une traction ou compression, une torsion et quatre espèces de flexions. Nous les déterminerons plus loin.
70. Nous avons VU que ; + *''l ^^^^^ "°^ fonction de w, c'està-dire de 0? -|- iy, nous allons donner une interprétation géométrique de ce fait.
Considérons dans une section droite du cylindre avant la déformation deux courbes AB et AC. Soient A'B' et A'C ce qu'elles deviennent après la déformation. Projetons A'B'C sur la section droite, désignons par A'^B" et A'^G" les projections.
Au point (a?, y) de AB correspond un point (x + 5» ^ + "^l) qui appartient à A''B". Gomme ? -|- ir^ est fonction de a? -f- «y» il en est de même de (a? + ;) -f- i (y -[- r^), c'est-à-dire que Ton passe de AB à A'^'B" par une transformation conforme. L'angle des courbes A^'B" et A^G" est donc égal à celui de AB avec AC.
D'autre part, si on considère le plan des tangentes en A' aux courbes A'B' et A'C, ce plan fait avec le plan ABC un angle infiniment petit de Tordre du déplacement. Donc la différence entre l'angle B'AC et sa projection B'^A'^C^ est un infiniment petit du second ordre. On peut donc dire que
angle BAC = angle B'A'G'
c'est-à-dire que l'angle de deux courbes situées dans une même section droite n'est pas altéré par lu déformation.
71. Lorsqu'on a choisi f=z a -{• bu -\- cm* nous savons que pour déterminer C il faut encore trouver la fonction û telle que AÛ = o à l'intérieur de la section droite et que
— - =r V sur le contour de cette section, V étant une fonction an
connue de x et de y.
Nous allons examiner les cas où l'on sait faire la détermination de Û.
180 LEÇONS SUR LA THÉORIt: DE l'ÉLASTIGITÉ
Traitons d'abord le problème pour un cercle. Nous prendrons des coordonnées polaires p, «p. La forme la plus générale satisfaisant à AU = o est si û reste Gni au centre :
Q =y^\„r^ cos n^ -|-\ B„r" sinnjp
Pour déterminer les coefficients A^ et B„ nous nous servi-
rons de — = V pour r = r^,, Vq étant le rayon du cercle.
V est une fonction périodique de cp, de période 2:r, on peut donc récrire :
V = Vc„ cos n-^ +^0;, sin np et Ton a :
IdentiOons, nous en déduirons :
nr^^''-^
" "~ wr^'*-'
Dans le problème particulier de Saint- Venant, la série V se réduit à trois termes, la solution est donc très simple.
Si, au lieu d'une section droite circulaire, on avait une section droite annulaire, on prendrait
il =
1 > A^r^* cos n^ -{-S^Bnr^ sin nt^
/ -|"^*'^«^'' cos ?icp -f-VB^'r-" 8inn(p
On aurait pour Y deux expressions de même forme que précédemment, correspondant aux cercles limites, et les équations :
dû ^
^ = Vo pour r = ro
du -,
^ = V, pour r = r,
donneraient deux équations linéaires pour déterminer A„ et \n ou B„ et B;î, quel que soit n.
Passons au cas d*une section de forme quelconque. Considérons la variable complexe m = a? -j- ty ; la relation
signifîe qu'on peut trouver une fonction û' de a? et de y telle que Û -|- lû' soit fonction de m.
Soit U = X -}- «Y = Or (m) une autre variable complexe et je suppose qu'on a pu déterminer © dételle sorte que, lorsque U décrit le périmètre ou Tintérieur de la section, U décrive le périmètre ou l'intérieur d'une circonférence S. On dit dans ce cas que U permet la représentation conforme de la section droite sur un cercle.
L'expression Q -|~ ^^' ^^^^ aussi une fonction de U et par suite :
à l'intérieur du cercle 2.
Voyons ce que devient l'équation aux limites :
Considérons un point 'M du périmètre de la section, la normale en ce point et un point M' voisin de M pris sur cette normale. On a :
MM' = dn
Faisons la représentation conforme, le point M vient en M| sur le cercle et M' vient en M| sur la normale au cercle, puisque les angles sont conservés.
M^M; = rfN On a évidemment :
dn ~
s/rfX^ + d\^ \ldx^ + dy^
d (X 4- lY) d [x -f iy)
par conséquent :
du
A Taide de la transformation U = <p (u) on a donc ramené le problème au cas du cercle.
Le problème de Saint- Venant pourra par suite être résolu pour toutes les sections dont on saura faire la représentation conforme sur un cercle, en particulier pour les sections elliptiques ou rectangulaires.
11 en sera de même si Ton peut représenter la section sur un anneau circulaire, ce qui est le cas d'une couronne comprise entre deux ellipses homofocales, par exemple.
72. Nous allons maintenant revenir à l'expression générale de Ç, 7), Ç et nous chercherons les six solutions particulières simples du problème autres que les déplacements sans déformation.
1° Traction ou compression. — Rappekms que si on prend
on a :
dz
Prenons Ç + «Vj = aw, a étant une constante réelle que nous introduisons parce que \ -\- tVj doit être infiniment petit. On aura :
\ = Qur, r,= ty
^ étant une fonction de a? et de y que Ton peut supposer nulle. Avec cette particularisation, les quantités N,, N,, N3, T^, Tj, T3 sont des constantes» qui sont même nulles, sauf N3 qui produit la traction ou la compression.
2° Torsion. — Posons Ç -j- *"^ = «a^w» on en déduira :
i \=—rLyz < r, = dxz l Ç = const.
Ëtudions la manière dont une section droite se déforme et se déplace en projection.
Un point (rc, y, z) devient (a? + ?> y "t" ^1 ^ "f" 0» sa projection est 0? -f- S, y 4" "'l' 1^ * àonç, tourné autour de oz d'un angle oz. Cet angle qui est le môme pour tous les points de la section n'est pas le même pour toutes les sections droites ; il y a réellement une torsion.
Cherchons les forces qui la produisent. On a :
N3 = o car N3 = X0 + 2a^
' dz
184 L£ÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLÂSTIQTÉ
et
dx dy K dz Les composantes tangentielles :
I Ta == - jxay
ont une résultante perpendiculaire au rayon vecteur du point [x, y), 3** Flexion simple. — On pose :
c se réduit à a et on a bien :
Considérons les différentes molécules du corps qui se trouvent sur une même parallèle aux génératrices, on dit qu'elles forment une fibre. Après la déformation cette fibre ne reste pas rectiligne; pour étudier sa forme nous prendrons pour nouvel axe des z la position de la fibre avant la déformation, en conservant le plan des xy.
Les coordonnées d'un point de la Obre déformée sont Ç, t) et z. Dans le cas général où Ton a :
ç -)- zV, = a -)- ^w 4- ^'
Ç et Tj seront du troisième degré en z^ la fibre déformée sera donc une cubique gauche.
Dans le cas de la traction, la fibre reste une droite parallèle à oz. Elle reste encore rectiligne, mais non parallèle à oz^
dans la torsion, car $ et t) sont alors du premier degré en z. Pour le cas de la flexion simple que nous considérons, \ est une fonction du second degré de z^ t\ est indépendant de z ; les équations :
( ? = Qt (a;^ — yî) — KOL?»
représentent une parabole située dans un plan parallèle au plan des z\.
Tout ceci ne doit pas être pris trop à la lettre; nous avons en effet négligé les carrés de \ et de yj, nous ne pouvons donc avoir qu'une première approximation. Par exemple, dans le cas de la flexion, la flèche de la parabole étant petite on peut aussi bien l'assimiler à un arc de cercle.
Le seul fait important dans ce cas est que la fibre reste plane.
En posant :
on a :
/ 5 z= a [a^> — \f] — Ka:r^
I C =: Vû^-iiCZ + 'ï> [x, y]
ce qui donne :
Les expressions de Nj|, T^, Ta sont donc :
N3 = ^tx (3X + jx)
