tu
, ^ ' dx
186 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ
On aurait des formules analogues en permutant l et t) 4° Flexion complexe. — Supposons qu'on prenne
l -f. iVj = OLZU^ — Ka —
; et 7j changent de signe quand on change z en — ^, la fibre déformée est donc une courbe à centre avec un point d'inflexion à Torigine.
7| = ^oLXt/z est Téquation d'un plan qui contient la fibre déformée, ce plan n'est plus le même en direction pour toutes les fibres ; il est toujours parallèle à ox mais fait avec oz un angle très petit, variable avec la fibre choisie. On conserve pour cela à zox le nom de plan de flexion.
Les expressions du déplacement seront :
l = ou (a-« - y^) - Ka ^
\ Ç = K%xz'^ + ^ [œ, y) et nous trouverons pour les forces :
N3 = 4a [X + K (X + ul)] zx
En permutant \ et tj, on aurait la sixième solution particulière.
Il semble que le problème que nous venons de résoudre est assez artificiel. Gomment Saint-Venant a-t-il été amené à se le proposer? Dans les applications on a souvent à étudier le»
déformations de prismes soumis uniquement à des forces appliquées aux bases. Nous avons de ce problème six solutions particulières intéressantes.
Ce n*est pas ainsi en général que le problème se pose ; on donne les forces appliquées aux bases et on demande les déformations qui en résultent.
Composons entre elles les forces agissant sur les bases comme si le solide était invariable, il devra y avoir équilibre.
Sur chaque base toutes les forces se réduiront à trois forces parallèles aux axes et à trois couples dont les axes auront même direction que ces forces. Si donc Ton connaît les trois forces et les trois couples pour l'une des bases, on les connaîtra pour l'autre.
Supposons que Ton change la distribution des forces extérieures sur les bases et que néanmoins, en faisant leur composition comme précédemment, on retrouve les mêmes forces et les mêmes couples. Les deux distributions ne sont pas du tout équivalentes au point de vue théorique, mais, comme on s'occupe d'habitude de prismes de section faible par rapport à leur longueur, on peut admettre approximativement Téquivalence.
C'est ce que fait Saint- Venant ; il remplace dans chaque cas la distribution réelle par une autre plus simple donnant mêmes forces et mêmes couples résultants. Si alors on a une solution particulière du problème, suffisamment générale pour que les forces et les couples résultants aient des valeurs quelconques, on pourra se faire une idée de la déformation d'un cylindre soumis à des forces quelconques.
Il faut pour cela six coefficients arbitraires. Nous les avons trouvés, le problème pratique est donc résolu.
73. Théorème du moment fléchissant. — Considérons un cylindre ABA'B', soit CD une section droite quelconque. La portion ABCD sera en équilibre sous l'action des forces extérieures appliquées à la base AB, des actions moléculaires mutuelles et enfin de la réaction de la partie CDA'B', c'est-àdire des pressions sur les différent? éléments de CD.
Soit dtû un élément de CD ; le cylindre ayant ses génératrices parallèles à oz^ les trois composantes de la pression sur cet élément seront :
Tai^o)
NjC/cD.
Prenons pour origine le centre de gravité du cylindre et pour axes les axes principaux d'inertie relatifs à ce point.
Soit o' le point où Taxe des z perce CD, o'sera le centre de gravité de CD et les intersections o'x et o'y' de CD par les plans des zx et des zy seront les axes d'inertie de la section.
Composons entre elles les pressions élémentaires appliquées sur CD suivant les règles de la statique.
Le résultat sera une force unique appliquée en o', qui est la pression résultante, et un couple, le couple résultant. Les moments de ce couple par rapport à o'x' et à o'y' seront appelés moments fléchissants ; le moment par rapport à oz est alors dit moment de torsion.
Les projections de la pression résultante sont :
fT^doy, f^^diù, J^^diù.
Les moments fléchissants sont alors, puisque le moment de la pression résultante est nul :
dbi pour oV,
et
ojNj dd) pour 6 y
Le moment de torsion est de même :
f{œT^ — yTa)rfa)
On peut trouver une autre expression de ces moments. Soient F les forces extérieures appliquées à la base AB.
Toutes les forces appliquées au tronçon ABCD doivent se faire équilibre. Or ce tronçon est soumis: i° aux forces F ; 2*> aux actions mutuelles des molécules du tronçon ; 3° à la réaction delà partie supérieure du prisme A'B'CD, c'est-à-dire aux pressions qui s'exercent sur les divers éléments de CD. Les actions mutuelles des molécules de ABGD étant égales et opposées, les forces F font seules équilibre aux pressions sur CD, par conséquent les trois composantes de la pression résultante sont au signe près égales h la somme des projections de toutes les forces F sur leur direction, et les moments fle'chissants et de torsion sont égaux à la somme des moments des forces F par rapport à oV, o'i/ et o'z.
Considérons une fibre quelconque du cylindre. Après la déformation, elle devient une courbe; rapportons-la à trois axes parallèles aux axes primitifs et dont Tun passe par la fibre avant la déformation.
Les coordonnées d'un point quelconque de la fîbre seront par rapport à ces nouveaux axes :
ou comme C très petit peut être négligé devant z :
Projetons la courbe sur le plan des zx^ la courbure de la projection au point Ç, z est :
i dz^
OU encore en négligeant le carré de -7-
R — rfj»'
Je vais montrer que celle courbure esl proporlionnelle au momenl fléchissanl. C'est en cela que consiste le théorème. Nous avons:
$ -|- tïj = a -|- ou + cu^ = f (m)
ô et c étant du premier degré en z. Donc :
dz^ '^^ dz^~ dz^' ce qui entraine :
La courbure ne dépend pas de a; et de y ; elle est donc la
PROBLÈME DE SAINT-VENANT i91
même pour la projection de loates les fibres aux points où elles rencontrent une môme section droite.
Soient :
I C = Co + ICp
Nous savons que :
Donc :
Calculons le moment fléchissant pour o'y\ c'est-à-dire — / N3a7c?(o.
Nous avons:
et comme N, et Nj sont nuls :
d!^ Xô 4- 2a P- = o ^ ' dx
XO -f 2a ^ = ' ' dy
Ajoutons membre à membre ces trois égalités, il viendra N, = (3X + 2JX) 9 = =^ (3X-f 2(x) £
Mais, d'autre part :
c'est-à-dire :
^ = 60 + 2coa? — 2c,.y.
Le moment fléchissant est donc :
Parmi les intégrales qui entrent dans le second membre deux sont nulles.*
i xdiù = 0, parce que 0' est le centre de gravité de la section / xyd(ù =: o, parce que o'z est un axe d*inertie.
La troisième intégrale l œ^dio est d'ailleurs le moment
d'inertie 1 de la section par rapport à o'y.
On a par suite :
d^l et en tenant compte de la valeur trouvée pour -—^
Cette formule exprime le théorème cherché : A un facteur constant près qui ne dépend que de la nature du corps, le moment fléchissant par rapport à oV est le produit de la courbure de la projection d'une flbre déformée sur le plan de flexion œo'z par le moment d'inertie de la section relatif
74. Moment de torsion. — Le théorème relatif au moment de torsion est un peu moins simple et un peu moins général que le précédent.
Il suppose que la section possède deux axes de symétrie rectangulaires.
Considérons, dans une section droite, deux courbes MM^, MMj et les tangentes en M à ces courbes. Après la déformation elles sortent de la section droite ; considérons alors leurs projections M'MÎ, ArMJ sur cette section. Noua avons vu que Tangle des tangentes en M'' était égal à Tangie primitif en M.
Je me propose de savoir de combien il a tourné, c*est-à-dire de déterminer Tangle de M'TJ avec MT|. Soit sur MM^ un point M^ d*afïixe [x -|- iy]^ le point correspondant sur ArMJ est le point M4 dont ralBxe est :
'^' -h ? + *■ (Z/ + 'f\\ c'est-à-dire puisque
L'angle dont les tangentes ont tourné est évidemment l'argument de -T-) c*est à-dire de f i + -^ V
Prenons en particulier pour les courbes MM, et MM2 les deux axes d'inertie principaux de la section. Nous avons :
du cl comme le point M a maintenant poUr affixe « =r o:
ÛLASTIClTiî. 13
Donc :
argument de (1 -|--^) = arc Igr-
b^ et 6, sont du même ordre de grandeur que^ et i); comme on néglige les carrés de ces dernières quantités on peut prendre approximativement :
La quantité 6^ sera ce que nous appellerons la rotation des axes.
Considérons maintenant deux sections droites infiniment voisines correspondant aux valeurs ^ et ja* -}- dz^ la rotation des axes est différente pour ces deux sections, Tune des sections
aura tourné par rapportàl'autre de langle •^* C'est cette quantité -7-^ c'est-à-dire la dérivée de la rotation par rapport à
z^ que nous appellerons la torsion,
£n supposant deux axes de symétrie rectangulaires à la section, nous allons montrer que la torsion est proportionnelle au moment de torsion.
Remarquons d'abord que b^ et 6^ sont des binômes du premier degré en z\
b^ = bi + zb",
et que Ton a: ôj = d'après la condition ^ {"t) = o
pour jr = o.
Je dis de plus que Ton peut faire ôj = 0.
En efîel ù^ est la rotation des axes dans la section moyenne ^ = o et il suffît pour l'annuler d'imprimer à tout le cylindre une rotation égale et contraire, sans déformation.
On aura alors :
ào = K
Je dis que le moment de torsion est proportionnel à b'. L'axe des z intersection des deux plans de symétrie zoXy xoy est un axe de symétrie. Si l'on a une position d'équilibre, on en déduit évidemment une autre en cbangeant \^ t), a\ y en — î, — 7i, — a?, — y. Dans cette opération le moment de torsion
J {xT^ — yTa) rfo)
ne change pas.
D'autre part, changer a? et y en — a? et — y, c'est changer u en — M et par suite f [u) en /*( — u). Si on remplace ensuite \ et 7) par — Ç et — vi, on aura :
Ç -j- /y) = — f[ — w) = — a -\' bu — cu^.
Or le moment de torsion dépend linéairement des coelllcients de/" (u], comme il ne change pas il est indépendant de a et de c. C'est donc une fonction linéaire de Ôq et ^J.
Le plan des zx est un plan de symétrie, si Ton remplace y et 7) par — y et — vj on aura encore une position d'équilibre. Mais ici le moment de torsion a changé de signe. A quoi cela correspond-il ?
Changer y en — y, c'est changer u en û et par conséquent f [u) en /* (w) = a + ^^ + ^"^»
196 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ
Remplacer tt; par — tj transforme Ç -|- îy) en Ç — iV,. On a par conséquent :
l — i'f^ = a -^ 6m 4" ^^*^ c'est-à-dire :
L«îS quantités a, 6, c sont donc remplacées par les quantités conjuguées ; comme le moment de torsion change de signe, il ne dépend pas de ^o*
Il est donc proportionnel à h\.
La théorie élémentaire de la résistance des matériaux conduit à ce résultat et donne pour coefQcient de proportionnalité le moment d'inertie de la section droite par rapport à son centre de gravité.
Si nous cherchons à l'aide de la théorie de Saint-Venant à calculer la vraie valeur de ce coefficient, nous trouverons qu'il est complique et dépend de la quantité Û. On obtiendrait le résultat de la théorie élémentaire, en supposant que les sections droites restent planes et perpendiculaires à oz,
75. Ces différents résultats peuvent s'énoncer sous une autre forme.
Considérons le cylindre avant la déformation : soient o le centre de gravité, oz la direction des génératrices, o'œ' et o'y' les deux axes principaux d'inertie d'une section droite.
Prenons sur oz un point o" infiniment voisin de o', soient o'V, oy les axes d'inertie de la section droite passant par o", ces axes sont parallèles à o'x et o'y\
Posons o'o" = dz et déformons le cylindre.
PROBLÈME DE SAINT^VENAî^T 197
L*axe oz devient une courbe, les points o' et o" viennent en o[ et o|. Les axes d'inertie en o' et o" deviennent des courhos. Considérons les tangentes o[x[^ of^i» o'[x\^ ojyj i\ ces courbes en o\ et of, elles forment avec les tangentes à o[o"^ deux trièdres qui ont chacun, aux infiniment petits du second ordre près, un angle droit œ[o\y[ etfl;Jo5[yi|, les deux autres différant d'un droit par des infiniment petits du premier ordre.
Soient o[z[ et o\z'[ les tangentes à la courbe o'^o^ en ù[ et en oj.
Soit xi^o[y2 la projection de Tangle x\o[y[ sur un plan perpendiculaire à o[z[\ Tangle dos doux plans ^^oly'^ d x[o[y[ étant très petit, langle xl^oi^y^ sera comme x\o[y[ égal à un droit aux infiniment petits près du second ordre.
Soit de même x^o^yl;^ la projection de oc^o^yl sur un plan perpendiculaire à oJ^'J.
Considérons les deux trièdres
o[x!^y^z[ et o^x^y^z"^
Chacun d'eux a deux faces rigoureusement rectangles et la Iroisirme est rocl angle aux infiniment petits près du second ordre.
Les deux trièdres sont égaux aux infinimentpetitsdu second ordre près, on peut donc les faire coïncider. Considérons les trois composantes de la rotation nécessaire pour amener la coïncidence.
La composante suivant o^est la torsion multipliée par dz\ comme la torsion est proportionnelle au moment de torsion, celto composante est elle-même proportionnelle au moment de torsion.
La composante de la rotation suivant oy est égale à Tangle de contingence de la projection de l'axe oz déformé sur le plan des zx. Comme cet angle de contingence est propor-
tionnel à t-j» c'est-à-dire au moment fléchissant relatif à oy,
la composante de la rotation suivant oy est proportionnelle à ce momenU
Le même fait se reproduit pour la troisième composante.
Si donc nous représentons par ojM^ le moment du couple résultant, c'est-à-dire le vecteur dont les projections sont les moments fléchissants et le moment de torsion, pour avoir les composantes de la rotation nécessaire pour amener le triédre of sur le trièdre o[ il suffit de multiplier les projections de o{M| par des facteurs constants infiniment petits et différents pour les trois axes.
