CHAPITRE VIII

PROBLÈME DE L'ÉLASTIQUE

76. Nous avons supposé jusqu'ici que les dimensions des corps que nous considérions étaient toutes finies, par conséquent que des forces finies agissant sur ces corps produisaient des déformations infiniment petites. Il n'en est plus de même pour des corps dont une ou deux dimensions sont très petites, par exemple pour des plaques minces ou des verges de faible section. Une telle verge rompra sous l'influence de forces finies, mais sous Faction de forces très petites elle pourra subir des déformations finies sans qu'il y ait rupture.

Pour qu'il n'y ait pas rupture il faut évidemment que les dilatations linéaires et angulaires restent infiniment petites; je dis que, avec cette condition, la déformation peut être finie. Décomposons en effet la verge en cylindres élémentaires tels que leurs trois dimensions soient du même ordre de grandeur. Un de ces cylindres peut prendre une courbure finie bien que les dilatations restent très petites. De simples considérations d'homogénéité vont nous en convaincre.

Un cylindre fini soumis à des forces finies prend, si les dilatations sont très petites, une courbure très petite, c'est-à-dire que le rayon de courbure devient très grand. Les dimensions du cylindre et le rayon de courbure sont des longueurs, les

dilatations -7^ et — + -r' sont des nombres.

dx dy ' dz

Divisons toutes les dimensions par un nombre très grand : le cylindre deviendra infiniment petit, les dilatations ne changeront pas et le rayon de courbure qui était très grand deviendra fini.

77. Considérons une verge de section infiniment petite, supposons que les seules forces extérieures se réduisent à des forces et à des couples appliqués aux deux extrémités; supposons en outre que dans chacun des cylindres élémentaires la distribution des forces soit celle qui correspond aux conditions du problème de Saint-Venant ; nous allons étudier la

déformation de cette verge. Pour justifier la dernière hypothèse, on dit quelquefois que, la verge étant très petite, les points d'application ^q des forces réelles sont infiniment voisins de ceux des forces de Saint-Venant. Ce n'est pas très satisfaisant, mais nous nous contenterons de cette raison.

Nous ne considérons que les verges dont la section a deux axes de symétrie ; soient MM| la fibre moyenne, c'est-à-dire celle qui passe par le centre de gravité, MP et MQ les deux axes de la section droite en M.

Après la déformation, la fibre moyenne devient une courbe. C'est cette courbe que l'on appelle courbe élastique et que nous allons déterminer.

PROBLÊME DE L'ÉLASTIQUE

Soient NN^, NF, NQ' ce que deviennent MM^, MP et MQ. Menons les trois tangentes en N à ces courbes : Not, Np, Ny. L'angle pNy est droit d'après une remarque faite plus haut; projetons cet angle sur le plan normal à la courbe NN^ en N. La projection eNS est encore un angle droit aux infiniment petits du second ordre près. Donc aux infiniment petits du second ordre près le trièdre Na8e est trirectangle.

Nous allons montrer que le problème de l'élastique gauche se ramène à l'étude du mouvement d'un solide pesant qui a un point fixe.

Rappelons rapidement les notations employées.

Soient le point Cwe, OA, OB, OC les axes d'inertie relatifs à ce point, A, B, G les moments d'inertie correspondants. Représentons par le vecteur OD la rotation instantanée du corps, soient p, q, r ses composantes. Le vecteur dont les composantes sont Ap, B^, O et que nous désignerons par oE représente Taxe du couple de la somme des moments des quantités de mouvements de tous les points du corps.

On sait d'après un théorème de mécanique que le point Ë se déplace et que, si le vecteur OF représente la vitesse du point E, ce vecteur est aussi égal à la somme des moments de toutes les forces appliquées au corps par rapport au point 0.

Soit G le centre de gravité que je suppose sur OA ; supposons que la seule force appliquée au corps soit son poids OP.

Le vectear OF sera perpendiculaire au plan OGP et sa grandeur sera définie par :

OF = GP X OQ

en désignant par Q la projection du point sur GP. Si G désigne l*angle ÂGP on aura :

Donc :

OQ = OG sin G.

OF = GPxOG8inG

et, comme OG et GP sont constants, OF est proportionnel à sin G.