Considérons un parallélipipède rectangle d'arêtes parai
8 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'ÉLASTICITÉ
lèles aux axes. Supposons que les longueurs de ces arêtes soient MM^ = Zœ, MMj = By, MM3 = Zz. Après la déformation, il est assimilable à un parallélipipède oblique dont les arêtes ont pour longueurs :
et font entre elles des angles égaux à
9 Pi ' 9 P2> 9 r3*
Que devient le volume de ce parallélipipède?
11 est égal au produit de sa base par sa hauteur ; or cette hauteur est égale à M'M 3 aux infiniment petits près du troisième ordre (on Tobtient en effet en multipliant M'Mj par le cosinus d'un angle infiniment petit du premier ordre). Donc le volume cherché est :
Ix.ly (1 + a^ + aj Iz (1 + ag), c'est-à-dire :
Br.By.8^ (1 -f- *i + *a 4" ^a)-
Nous poserons: 6 = a^ + a^ -j- aj, et l'expression du volume sera: lx,ly.lz (1 + 9).
8. Considérons un volume infiniment petit v de forme quelconque. Ce volume peut être décomposé par des plans parallèles aux plans coordonnés en une infinité de parallélipipèdes rectangles infiniment petits, non seulement d'une manière absolue, mais encore par rapport au volume v. La déformation aura pour effet de multiplier le volume de chacun d'eux par i + 6 ; donc le volume t? deviendra v (i -f- 6).
ÉTUDK CINÉMATÏQDE DES DÉFORMATIONS 9
La quantité 6 s'appelle dilatation cubique. D'après sa définilion, elle est indépendante du choix des axes. Donc, en un point donné, la somme des trois dilatations linéaires relatives à trois axes rectangulaires quelconques est constante.
9. Ellipsoïde des déformations. — Cherchons ce que devient par la déformation une sphère de rayon infiniment petit e.
Soit M le centre, M^ un point quelconque de la sphère; après la déformation, M vient en M' et M^ en M|.
Soient x^y^z les coordonnées de M'; œ-^lx^y -^ly^z -\-' 8z, celles de Mj; d'après une remarque faite plus haut, les coordonnées du point M seront œ — Ç, y — tj, z — Ç, et celles deM^
a? + 8a; — Ç — SÇ, y + By — 71 — Sti, ^ + a^ — Ç — a;.
Les projections du vecteur MM| sur les trois axes sont Ix — 8$, ly — 87|, 8^ — 8Ç ; écrivons que ce vecteur est égal au rayon e de la sphère :
(807 - 85)2 + [ly - 87i)2 + [Iz - IX.Y = e^ Mais :
Donc:
OU, en développant et négligeant [les termes du quatrième
ordre infinitésimal :
Nous avons donc :
c*est-à-dire avec les notations adoptées :
Mais 8a? , 8y , 8^ sont les coordonnées de M| par rapport à des axes parallèles aux premiers ayant pour origine M'.
Le lieu de Mj est par conséquent un ellipsoïde. On l'appelle ellipsoïde des déformations,
10. Dilatations principales. — Parmi toutes les directions issues de M\ il y en a trois qui sont particulièrement remarquables, ce sont celles des axes de l'ellipsoïde. Les dilatations linéaires suivant ces axes sont dites dilatations principales ; on les désigne par 81,83, 83.
Les longueurs des axes de Tellipsoïde sont alors :
Si Ton désigne par s une racine de Téquation en s relative à l'ellipsoïde, Taxe correspondant a sera donné par la relation:
en dénotant par B la dilatation linéaire relative à cet axe. Négligeons les puissances de S supérieures à la première, nous aurons, puisque
la relation :
L'équation qui donne s étant ici :
i — 2ao — * —
i — ia, — s
celle qui donnera o sera :
-Pa -Pi
-Pa 28 — 2aj
-Pi
Les trois dilatations principales sont indépendantes du choix des axes. Donc les coefficients de Téquation en 8 ne changent pas lorsqu'on change la direction des axes.
Cette équation développée s'écrit :
(28)3 A^ (28)« + Aj (28) - A, = o, où A|, A2, A3 désignent les polynômes suivants:
h Pi *«.
On retrouve donc le fait que la quantité dénotée par 6 est indépendante du choix des axes de coordonnées.
Si Ton prenait comme axes les axes de rdlipsoïde des d»^formalions, les termes rectangles disparaîtraient de son équation. Gela montre que les glissements sont nuls dans les trois plans principaux de Tellipsoïde.
Il y a donc, en général, un système de plans formant un trièdre trirectangle et tels que les glissements soient nuls pour ces plans.
11 • Trois diamèlres rectangulaires de la sphère deviennent après la déformation trois diamètres conjugués de t ellipsoïde.
Il résulte des hypothèses faites sur la continuité des fonctions Ç, r, Ç et de leurs dérivées que, si deux surfaces sont tangentes Tune à Tautre avant la déformation, elles le sont encore après la déformation. Considérons donc trois diamètres rectangulaires de la sphère et les plans tangents à leurs extrémités, ils forment un cube circonscrit à la sphère. Après la déformation, la sphère devient un ellipsoïde, le cube un parallélipipède oblique dont les faces restent tangentes à rellipsoïdc. Ces faces sont donc parallèles à trois plans diamétraux conjugués de Tellipsoïde ; les diamètres correspondants qui proviennent des diamètres rectangulaires de la sphère sont donc conjugués.
Les calculs faits plus haut montrent d'ailleurs que la sphère dérive de reilipsoïde par une transformation homographique conservant le pian de Tinfini, et on sait qu'une telle transformation fait correspondre un système de diamètres conjugués à un système de diamètres conjugués.
