Équations de l'équilibre. — Soient n molécules

in^, W2,.... m^', oci, yt, Zi les coordonnées de la molécule w, dans sa position d'équilibre naturel (c'est-à-dire dans la position qu'elle occupe avant toute déformation). Supposons que le corps se déforme ; les coordonnées de vii deviennent ^j -h \i^ lli + "^M ^i + ?;■• Nous appellerons A,, B,, C, les composantes suivant les trois axes de coordonnées de la force, agissant sur m,, qui provient de l'action des autres molécules ; A,-, B^-, Cj sont des fonctions des coordonnées de toutes les molécules, x^ -j- Ik, Vk + iq/.-, z^ -f 0.; P.-, Q/, R,seront les composantes de la résultante de toutes les forces extérieures agissant sur m^, dans la position d'équilibre naturel. Dans une autre position d'équilibre (que nous appellerons position . d'équilibre contraint) les forces extérieures auront pour composantes P, -\- X,, Q; -f- Y/, R,- -f Z,-. Les équations de l'équilibre naturel seront:

puisque toutes les forces cjui agissent sur chaque molécule doivent se faire équilibre.

Si les forces extérieures varient, l'équilibre sera troublé et le corps se déformera jusqu'à ce que A,-, B,, C,, qui sont des fonctions de la déformation, aient pris des valeurs telles qu'elles fassent équilibre aux forces extérieures. Les équations de l'équilibre contraint seront par suite :

( C, + Ri + Z.-= o

ÉTUDE DES FORCES ÉLASTIQUES i'9

20. Étude des forces intérieures. — La première hypothèse en date, qui est celle de Poisson el de Gauchy par exemple, est l'hypothèse des forces centrales : deux molécules quelconques exercent l'une sur l'autre une attraction ou une répulsion réciproque, dirigée suivant la droite qui les joint et dépendant seulement de leur distance. C'est celte hypothèse qui paraît la plus naturelle, et on s'y est arrêté longtemps.

Lamé a fait une hypothèse plus particulière encore: il suppose l'attraction nulle dans l'élat d'équilibre naturel; si les molécules se rapprochent à partir de cette position d'équi- Ubre, il se développe une force répulsive ; si elles s'éloignent, une force attractive ; de manière que la force tende toujours à ramener la molécule dans la position d'équilibre naturel. Dans l'hypothèse de La-né, l'équilibre naturel est donc caractérisé par les équations :

et par suite aussi par les relations :

La position d'équilibre naturel correspond donc au cas où il n'y a pas de forces extérieures, mais la réciproque n'est pas vraie. Si l'on suppose les forces extérieures nulles dans l'état d'é piilibre naturel, il n'en résulte pas que les attractions des molécules sont toutes nulles ; car il pourrait se faire que les diverses attractions se fissent équilibre sans être nulles séparément. Il n'y a donc aucune raison pour adopter cette hypothèse de Lamé qui, d'ailleurs, ne simplifie ni les calculs ni les résultats.

L'hypothèse des forces centrales n'est elle-même qu'une

hj'polhèse particulière ; prenons pour A,-, B/, C, des fonctions quelconques des x^ + \k, Vk + -hk^ ^k + Ik, et supposons (|ue \i,-(\i, Ci subissent des accroissements d\u df\h (^^r, le travail des forces intérieures est :

^ [kidli + ^idr^i + Cidli).

Le principe de la conservation de l'énergie exige que ce travail soit une différentielle exacte ; nous poserons en conséquence

2 [kidli + B,c/-ri, 4- Cidï^i) = d\5 ;

Usera une fonction des coordonnées de toutes les molécules:

U = f{xk + ;/,, xj/,-\~ -/i/o z,, + Ca-, )

cl on aura

__d\] dc^i

\ '-'dïi

La seule hypothèse nécessaire est donc que les forces intérieures dérivent d'un potentiel.

21. Étude des forces extérieures. — Ces forces forment deux groupes distincts ; il peut d'abord se faire qu'elles agissent snr toutes les molécules du corps, aussi bien sur les molécules intérieures que sur les molécules superficielles ; toi est, par exemple, le cas de la

pesanteur. Il est d'autres forces, inutiles à énumércr toutes ici, qui n agissent qu'à la surface. Pour en donner un exemple, supposons un gaz renfermé dans une enceinte; il exerce une pression sur la paroi, et celle-ci, en vertu du principe de l'égalité de l'action et delà réaction, réagit sur le gaz. Celte pression de la paroi sur le gaz est une force extérieure appliquée seulement aux molécules superficielles.

Le choix de la position dequilibre naturel semble à peu près arbitraire ; par suite, il peut paraître simple de choisir la position que prend le corps en l'absence de toute force extérieure. Gela n'est pas toujours possible; nous avons en effet supposé les déformations très petites, et toute la théorie repose sur cette hypothèse; il nous faut donc choisir une position d'équilibre naturel différant très peu de la position d'équilibre contraint que nous avons à étudier ; c'est pour cela que nous conservons P/, Qi, Ri dans nos formules, c'està-dire que nous ne supposons pas les forces extérieures nulles dans l'état d'équilibre naturel.

Pour bien en montrer l'utilité, reprenons l'exemple du gaz renfermé dans une enceinte et soumis à une pression provenant de la réaction de la paroi ; on ne pourrait pas supposer cette pression nulle dans l'état d'équilibre naturel, car le volume correspondant serait infini et la déformation serait par suite aussi infinie (').^