Étude de la fonction des forces. — Revenons
aux forces intérieures; pour les connaître, il nous faut étudier
(1) Celte assimilation d'un gaz à un corps élastique n'est pas tout à fait rigoureuse, car on a l'habilude de considérer les gaz comme formés de molécules en mouvement; il s'agit d'un état dynamique et non d'un état slalique; mais elle suffit pour faire comprendre la justesse de notre remarque.
la fonction U. Si on la développe par la formule de Taylor, en considérant ;, tj, K comme les accroissements de og, y, z on a:
U = Uo+U, + U3 -hU3 + ...
U(, sera une constante: c'est U [xi, y,-, zt); U, renferme les termes du premier degré par rapport à \, v], l, ; U2: les termes du second degré, etc.
Comme les quantités \, -rj, X, sont supposées très petites, nous négligerons leurs cubes, et nous arrêterons le développement à Ua- On a alors
U = Uo -f- U, + u„
et par suite
' cm cm^ d^,
' - d\, - dli + c??,"
dtii d-t\i
r — ^ I ^^^2 ^' - rfC- "^ du
d\] car Uo ne dépend pas des \, r^, C", -rr^ est indépendant des \ ;
— ^-^ est homogène et du premier degré par rapport aux \ et,
par suite, s'annule dans la position d'équilibre naturel ; on a alors simplement :
'-'■-Il dy\ i
^^ - dU
Les équations de l'équilihre naturel deviennent donc:
Dans la position d'équilibre contraint, on aura:
'Ijil + 'Ij^ + 0, + Y, = o
On en déduit
Ce sont ces dernières équations qui déterminent les déformalions: nous nous donnons les forces déformantes X/, Y,-, Z,-, c'est-à-dire les forces qui s'ajoutent à celles qui existaient dans la position d'équilibre naturel ; nous avons alors 3w équations linéaires pour déterminer les 3n inconnues ;,-. iq,-, Ç^. Le problème est donc théariqueiiient résolu et d'une manière très simple; mais le nombre extrêmement grand des molécules
34 LEÇONS SUR LA THÉORIE DE l'É[ \STICITÉ
rend cette solution absolument impraticable, nous sommesdonc obligés de recourir à d'autres considérations.
23. Cherchons une autre expression de la fonction U. Cette fonction changée de signe est l'énergie potentielle due aux actions mutuelles des molécules ; elle ne peut donc dépendre que des distances des molécules, car, si le corps se déplace à la façon d'un solide invariable, il est évident que les actions mutuelles des molécules ne produisent aucun travail {^).
Considérons deux molécules quelconques m^ et w?, ; appelons a;, y, z les coordonnées de la molécule wz, dans la position d'équilibre naturel, x -\- \, y -\- -t^, z -\- !^ les coordonnées de la même molécule dans la position d'équilibre contraint ; les coordonnées de m, dans la position d'équilibre naturel seront x -\- D^c, y -j- Dy, z -f- Ysz (en employant la notation Dj? pour désigner une différence qui, du moins jusqu'à nouvel ordre, n'est pas supposée infiniment petite) ; ellesseront dans la position d'équilibre contraint :
Les projections du vecteur m^m^ sur les trois axes, qui sont Do;, Dy, D^, dans l'équilibre naturel, deviennent dans l'équilibre contraint D.r -f D;, Dy -f- Dti, D^ -\- D^ Soit R le carré de la dislance m(tn.^ dans la position d'équilibrenaturel ; R -|- p le carré de cette même distance dans la
(') Pour s'en convaincre, on peut remarquer que si, par exemple, une ro'.alion d'un angle — produisait un travail, en la répétant g fois on produirait un travail q fois plus grand, et cependant le corps reviendrait à sa position iniliale; ce qui est impossible, puisqu'il y a une fonction des forces-
ÉTUDE DES FORCES ÉLASTIQUES position d'équilibre contraint; nous avons:
Par suite :
Nous poserons :
p, = ± (Da7D? + D?/Dyi -f- D^D:),
et il viendra:
P = Pi -h P2-
Les déplacements ç,-ri, ^ sont supposés infiniment petits du premier ordre; il en est nécessairement de même de leurs différences D;, Dy), DÇ ; par suite p, est infiniment petit du premier ordre et p2 du second ordre,
U est une fonction des quantités R -|- p
Développons cette expression par la formule de Taylor, nous aurons :
u = MR. R V..) +2jTr p+ 2 2jdW^ f +2jc7ïkm' pî^ + -
Nous avons déjà négligé les infiniment petits du troisième ordre dans l'expression de U ; nous devons donc limiter le développement de U aux termes du second ordre. Nous allons
comparer ce développement avec celui que nous avons trouvé plus haut.
Pour cela, remplaçons p par sa valeur :
P = Pi 4- P2- On a :
p2 = pî + -PiPo -\- pi-
Nous négligerons p,po et p| qui sont respectivement du troisième et du quatrième ordre infinitésimal; de même nous remplacerons pp' par p,p,', et il viendra
Un quelconque des cinq groupes de termes de U est homogène par rapport aux ^,7], Z; si nous identifions avec l'expression déjà obtenue
U = Uo -f U^ + u„ nous arrivons aux relations
Uo = F(R, R', )
Ug est la sonîme de trois groupes de termes; nous allons montrer que, dans l'hypothèse des forces centrales, le troisième groupe disparaît identiquement, c'est-à-dire que l'on a dans ce cas:
