PF

dlUii'

En eflet, les actions des difTérenles molécules se réduisent alors aux attractions mutuelles des molécules deux à deux ; l'attraction ne dépend que de la distance des deux molécules considérées et reste la même si l'on en introduit d'autres. Donc l'énergie potentielle totale U est la somme des énergies potentielles dues à tous les couples de molécules, considérés successivement, c'est-à-dire que l'on a:

chacune des fonctions ne dépendant que dun argument; par suite:

dlidiV ~ "'

C'est là un point important; nous en conclurons plus tard que dans l'hypotlièse des forces centrales il doit y avoir une relation numérique entre les coefficients d'élasticité X et ;j. de Lamé, ce qui fournit une méthode expérimentale pour rechercher si l'hypothèse des forces centrales est conforme à la réalité.

24. Nous avons supposé jusqu'à présent que toutes les molécules étaii^nt libres; dans certaines théories, au contraire, on les suppose assujetties à des liaisons. Pour trouver dans cette hypothèse les équations d'équilibre, il suffit d'appliquer la méthode de Lagrange. Nous avons écrit les équations

A,-hP,+X, = o B/ + Q< + Y,- = o C, + R,- + Z, = o

qui expriment que la molécule est en équilibre sous l'action

des forces intérieures et extérieures [seules. Supposons qu'il y ait des liaisons définies par les équations :

Lp = o

les équations d'équilibre seront d'après des principes connus: JA,+ P.+X,+ X.f + X,|-^ + ... + V.|^ = o

X^, ^2 ... lp étant des constantes inconnues; nous avons ainsi introduit p inconnues nouvelles, mais nous avons aussi p équations déplus, lesp équations de liaison.

Il semble, au premier abord, qu'en introduisant cette hypothèse nous pourrons étudier des phénomènes plus généraux; c'est-à-dire que l'hypothèse de molécules entièrement libres restreint la généralité; ce n'est qu'une apparence.

Prenons, par exemple, la liaison la plus simple: supposons deux molécules assujetties à rester à une distance invariable Tq l'une de l'autre. Tout se passe comme s'il existait entre elles une force attractive ou répulsive dirigée suivant la droite qui les joint et fonction seulement de leur distance, cette force étant supposée nulle pour r = Tq, très grande et

répulsive pour /• = r^ — e. très grande et altractive pour

La force de liaison apparaît donc, dans cet exemple simple, ■comme un cas limite de la force ordinaire. On pourrait faire une étude analogue pour les liaisons quelconques, et l'on arriverait au même résultat. On ne généralise donc pas en introduisant des liaisons; nous reviendrons d'ailleurs plus loin sur ce sujet à l'occasion des théories qui leur attribuent MTi rôle important.

Indiquons simplement la réponse à une question ([ui se pose naturellement. Si rintroduction de liaisons ne donne pas une plus grande généralité, si. par consé(|uent, on peut arriver à des résultats tout aussi étendus en n'introduisant que -des forces ordinaires, à condition de ne pas préciser la nature de ces forces, comment se fait-il qu'on ait créé des théories différentes en faisant usage de liaisons? La raison en est simple : il est certains esprits auxquels répugne la conception d'actions à distance autres que des forces centrales : dans les cas où l'hypothèse des forces centrales ne rend pas compte •des faits observés, ils introduisent des liaisons qui leur permettent d'expliquer ces faits sans renoncer à leur hypothèse fondamentale.

25. Rayon d'activité moléculaire; expression nouvelle de la fonction U. — Pour continuer les calculs, il faut introduire une nouvelle hypothèse: nous allons supposer que les actions moléculaires ne s'exercent qu'à des distances très faibles, de sorte qu'elles deviennent insensibles lorsque la distance dépasse une longueur extrêmement petite appelée iravon d'activité moléculaire.

Par suite -7^ el -j^yz, seront supposes très petits, a moins que an. ttR^

la distance \/R des deux molécules ne soit inférieure au rayon d'activité moléculaire.

Pour les termes tels que -777-777,, il y a quelque chose de plus;

aria H

soient m^, m.^ les molécules dont la distance est vR", ^^3, ^^4»

les molécules dont la distance est sW ; le terme ,„ j^, est né-

atiaR

gligeable, à moins que les molécules m^^ m^^ m^^ m^ ne soient toutes les quatre à l'intérieur d'une sphère de rayon très petit (il ne suffit pas pour cela que R et R' soient très petits, il faut que les autres côtés du quadrilatère »z^ m^in^ Wj^ le soient aussi); ces conditions sont absolument nécessaires.

Divisons le volume du corps en deux volumes partiels V et V"; supprimons dans U, tous les termes pour lesquels v^R est supérieur au rayon d'activité moléculaire; nous distinguerons dans U^ trois groupes de termes. Dans le premier, nous rangerons les termes tels que les deux molécules correspondantes m^ et m.2 soient toutes deux à l'intérieur du volume V ; soit U^' la somme de ces termes; dans le second, nous placerons de même les termes tels que les molécules m^ et m^ soient toutes deux dans le volume V'[, et nous désignerons leur somme par U^'; enfin, le troisième groupe comprendra tous les autres termes, c'est-à-dire ceux pour lesquels, des deux molécules m^ et m^, l'une est dans le volume Y', l'autre dans le volume V" ; en appelant U^ la somme des termes du troisième groupe, nous aurons

u^ = u; -f ui' -f u'[.

Dans U2, nous effectuerons une décomposition analogue;

dix' dli-

les termes tels que^. ^ correspondent à un couple de

molécules; les termes tels que ^^. à deux couples de molécules, c'est-ù-dire à trois ou quatre molécules. Il faut que les deux, trois ou quatre molécules soient toutes à l'intérieur d'une sphère très petite. Nous rangerons encore dans un premier groupe les termes tels que les molécules correspondantes soient mues dans le volume V, et nous désignerons leur somme par U^ ; nous définirons de même Ll ; enfin U^' comprendrais termes tels que les molécules correspondantes soient les unes à l'intérieur de Y', les autres à l'intérieur de V" ; nous aurons alors :

Nous allons simplifier les expressions de U< et U.,. Occupons-nous d'abord de U, ; les termes qui entrent dans U'[ sont excessivement moins nombreux que ceux qui forment U; ou U;'. Ce sont en effet des termes tels que le vecteur m^m2 ail ses extrémités l'une dans le volume V, l'autre dans le volume V". Ce vecteur est supposé inférieur au rayon d'activité moléculaire ; donc la dislance de la molécule m, à la surface de séparation est plus petite que ce rayon; il en est de même pour m.,. Les molécules considérées sont donc comprises dans une zone étroite de part et d'autre de la surface de séparation et dont le volume est du même ordre de grandeur que le rayon d'activité moléculaire; car nous supposons, bien entendu, que l'aire de la surface est finie. Le volume de la zone est donc très petit par rapport aux volumes Y et Y", et nous

pouvons négliger U'i' par rapport à U| et V^, c'est-à-dire écrire :

Un raisonnement analogue donnerait l'égalité exacte au même degré d'approximation :

Ces égalités expriment que, pour avoir les valeurs de U, et de U2 relatives à un volume V -\- Y", il suffît de faire la ■somme des valeurs relatives aux deux volumes partiels V et V".

Le théorème subsiste évidemment encore si l'on a un plus grand nombre de volumes partiels, à condition toutefois que ces volumes partiels soient très grands par rapport à la sphère d'activité moléculaire; sinon la démonstration ne s'appliquerait plus.

Nous avons dit que nous supposions le rayon d'activité moléculaire très petit, sans préciser davantage; nous admettrons qu'il Test suffisamment pour qu'on puisse partager le corps en éléments très petits d'une manière absolue et cependant très grands par rapport au rayon d'activité moléculaire. Quand nous parlons d'éléments très petits d'une manière absolue, cela veut dire, d'abord, qu'ils sont très petits par rapport aux dimensions du corps; ensuite, qu'à l'intérieur de chacun de ces volumes élémentaires nous aurons le droit de

considérer l, t, ^ et leurs dérivées -t-î ^-? ••• -r- comme des

ctx dy dz

constantes. Soit dx un de ces volumes, W^c/t la valeur de U^

correspondante, W., d- la valeur de Ug. Comme les volumes sont très petits, nous pouvons, sans erreur sensible, remplacer le signe de sommation par le signe d'intégration et au lieu de:

U, =^Wof/T

€cnre :

les intégrations s'étendant à tous les éléments d- du volume du corps.

Les expressions de W/Zt, W.c/t sont les suivantes:

^^'2f<^=2j^p2 +22jrfR^'' '^Zid.RdW''

les sommations ne se rapportant qu'aux systèmes de molécules entièrement situés à l'intérieur du volume d-c.

26. Étude de la fonction W< . — Nous allons maintenant chercher les expressions de W^cZt, Wac/x; cela devient facile, car Bx, D^, D^ sont maintenant des quantités très petites, puisqu'elles sont supposées de l'ordre du rayon d'activité

U LEÇONS SUR lA THÉORIE DE L ÉLASTICITÉ

moléculaire. Nous pouvons donc écrire:

Dl = ^ Dx -i- '-^ mj A- '-- \)z

dx ^ dy "^ ' dz

dx ' dy dz

dx dy • ' dz

en négligeant les carrés de Do?, Dy, D^. Calculons la valeur de p, ; nous avons posé :

p, = 2 [X)x\)\ + DyDïi -f- D^D^).

On a donc :

ou avec les notations adoptées :

p, = 2 (a, Du;2 -f a2Dy2 j a3D^2 | ju^ Dyl). j g^p^D,,,^ p^O^Dy)

Nous observons que p^ est un polynôme homogène et linéaire par rapport aux quantités ot et p ; mais W/ir est homogène et du premier degré par rapport aux p, ; donc W^f/r est homogène et du premier degré par rapport aux a et aux p. Nous allons calculer ses coefficients. On peut écrire, pour abréger :

p, =22^oc^Da;^ + 2^p,DyD4r,

et on a alors :

les premiers signes de sommation se rapportent aux trois axes de coordonnées ; les autres, aux couples de mole'cules renfermées à l'intérieur du volume dr.

Supposons que dans l'étal d'équilibre naturel les forces extérieures soient nulles; on aura :

d\t ~~ dr^i ~ d^i

Il en résulte que U, est identiquement nul; c'est en effet un polynôme homogène et du premier degré par rapport aux H, -rj. s, et le théorème d'Euler donne :

Donc, dans ce cas, W^c/t est identiquement nul; les coeflicients de ce polynôme sont alors tous nuls, et nous avons les six relations :

y.f.^^'-='> i:I°^-^=» eId"-=o

SJR"^^-» Ef^-°-^=« 1^^^^="-

Ce sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que les forces extérieures soient nulles dans l'état d'équilibre naturel.

27. Étude de la fonction W.^. — Occupons- nous mainlenanldeWaC^T; nous avons réparti ses termes en trois groupes. Considérons les termes du second et du troisième groupe^ c'est-à-dire:

1 yr\cPF ^r^JPV ,

Cet ensemble de termes est homogène et du second degré par rapport aux quantités p, ; par suite, il est homogène et du second degré par rapport aux a et j3. Il y a donc 21 coefficients dans ces deux groupes de termes.

Pour calculer les termes du premier groupe, cherchons la valeur de po. On a:

p, = D;2 -I- Dti^ + D?^ D'ailleurs:

Donc, si nous posons

d\ d\ . dt\ i-T\ dt, dZ,

''" di/ dz "" dy dz dy c(z

ou, quels (jue soient u ei v\

Q?; rf; dy\ d-(\ .^ rf^ dX,

"" du dv du dv ' du dv

nous aurons :

c'est-à-dire que p^ est une combinaison linéaire des six polynômes n. Le premier terme de W^dr sera donc aussi une combinaison linéaire de ces six polynômes, et renfermera par suite six coefficients.

11 entre donc dans l'expression de VJ.,dr 21 -f- G = 27 coefficients arbitraires. L'expression « coefficients arbitraires » signifie simplement que ces coefficients sont indéterminés si Ton ne précise pas la nature du corps, mais il est bien clair que, pour un corps donné, ces coefficients ont des valeurs parfaitement définies.

WoC^T est un polynôme homogène et du second degré par rapport aux neuf dérivées partielles de ?, -^, Ç; mais ce polynôme n'est pas quelconque, car un polynôme homogène du

9 10 second degré à neuf variables renferme en général -^ — = 43-

coefficients distincts, et Ton vient de voir qu'il n'y en a que 27. Ces vingt-sept coefficients sont en général des fonctions de a?, y, z ; si le corps est homogène, ce que nous supposerons presque toujours, ces coefficients sont des constantes.

28. Leur nombre peut se réduire considérablement dans divers cas. Lorsque les forces sont centrales, on a:

c/Rcm'

et les termes du troisième groupe disparaissent. Si les forces extérieures sont nulles dans l'état d'équilibre naturel, c'est

le premier groupe qui disparaît; c'est en effet une combinaison linéaire des polynômes n ; le coefficient de ïl^^^c est-

et le coefficient de ^n^,

et nous avons vu que ces coefficients sont nuls dans le cas qui nous occupe.

Il y a donc trois groupes de termes en général ; le troisième disparaît dans le cas des forces centrales, le premier dans le cas où l'on suppose les forces extérieures nulles dans l'équilibre naturel, le second subsiste toujours.

Cherchons quelles simplifications sont apportées par la suppression du premier ou du troisième groupe ; pour cela étudions de plus près le second. C'est une combinaison linéaire des quantités p| ; or pj est un polynôme du second degré par rapport aux a et aux p, dont les vingt et un coefficients sont fonctions seulement de Bx, Dy, Xiz. Ces vingt et un coefficients sont donc liés par dix-huit relations. Parmi ces relations, celles qui ne sont pas linéaires ne subsistent pas lorsqu'on multiplie les p~^ par des quantités arbitraires telles

cPF que -777:; et qu'on les ajoute; au contraire, celles qui sont an,"

linéaires ont encore lieu entre les coefficients du groupe de

termes que nous considérons. Nous obtiendrons donc le

nombre de coefficients distincts que renferme le second groupe

de termes de W^d-c en retranchant de vingt et un le nombre

des relations linéaires qui existent entre les coefficients de cf.

On a :

p, :=22^a,Da;2+2^^,D^D^,

et on voit facilement qu'il existe six relations linéaires entre les coefficients de pf ; trois de ces relations sont de la forme :

coeff. de î>,x^%.2 = coeff. de ,3|, et les trois autres de la forme:

coeff. de 2'i^fi.^ = coeff. de 2x38;.

Donc il y a six relations linéaires entre les vingt et un coefficients du second groupe, et par suite il n'en reste que quinze réellement distincts. Nous pouvons dès lors résumer les résultais obtenus dans le tableau suivant :

SI l'on suppose :