ÉGAL A

Les forces

intérieures

uon centrales

Les forces extérieures non nuUus dans l'état d'équiiibre naturel.

Les forces extérieures nulles dans l'état d'équilibre natural.

Les forces

iatérieures

centrales

Les forces extérieures non nulles dans l'état d'é juilihre naturel.

Les forces extérieures nulles dans l'état d'équiiiljre naturel .

ELASTICITE.

On peut remarquer que dans le cas où les forces extérieure& sont supposées nulles dans l'étal d'équilibre naturel, Wo ne dépend que des a et des p, c'est-à-dire de la déformation ; mais il n'en est pas de même si l'on ne fait pas cette hypothèse particulière. Il n'y a pas là de paradoxe, car si les forces extérieures ne sont pas nulles et si le corps se déplace sans se déformer, c'est-à-dire comme un solide invariable de la mécanique rationnelle, les a et les p sont "nuls et cependant les forces extérieures produisent en général un travail.

29. Cas des corps isotropes. — Nous sommes arrivés à l'expression suivante de la fonction U :

les intégrations étant étendues à tous les éléments dz du volume du corps ; W^ est un polynôme homogène et du premier degré par rapport aux a et aux [3 ; W2 est la somme d'un polynôme homogène et du second degré par rapport à ces mêmes quantités, et d'une combinaison linéaire des six polynômes n.

Si le corps est isotrope, les polynômes W^ et Wg doi^'ent être eux-mêmes isotropes. Le seul polynôme isotrope du premier degré est la dilatation cubique:

de, . d-r\ dt, ôz^oc, + a, + a3 =-+- + -.

On a donc nécessairement:

Wo est homogène et du second degré par rapport aux neuf dérivées; nous avons vu qu'il existe trois polynômes isotropes du second degré linéairement indépendants; nous pouvons prendre par exemple les trois suivants :

p, fj, r étant les composantes de la rotation moyenne ; nous allons remplacer le troisième par une combinaison linéaire des deux derniers ; nous avons :

^' + 'r + >-'-7M-'i) Donc :

et par suite:

Nous prendrons donc les trois polynômes isotropes suivants

20 H = af + a| + ai + ^' + ^' + ^'

3" n„ + n„,+n.,=2i:(iy;

52 LEÇONS SUR LA THÉOP.IE DE l'ÉLASTICITÉ

et ces trois {)olynômes étant line'airement indépendants, W2 en sera une combinaison linéaire, que nous écrirons, en adoptant les notations de Lamé :

30. Nous avons trouvé plus haut que W^ est la somme de trois groupes de termes, le premier disparaissant lorsque les forces extérieures sont nulles dans l'état d'équilibre naturel, et le troisième lorsque les forces intérieures sont centrales. Le premier groupe est une combinaison linéaire des polynômes n et l'ensemble des deux autres un polynôme homogène et du second degré par rapport aux a et aux p renfermant vingt et un coefficients arbitraires.

11 est aisé de voir que W2 ne peut se mettre sous celte forme que d'une seule manière, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de relation linéaire entre les polynômes H d'une part et les carrés et produits deux à deux des a et des p d"autre part. En effet, cette relation renfermerait nécessairement les H, car les carrés et produits deux à deux des a et [i sont indépendants ; si nous annulons les a et les p, il en résultera une relation entre les n. Pour annuler les oc et p, supposons par exemple que le corps subisse uno rotation infiniment petite, à la façon d'un solide invariable, c'est-à-dire posons

Eldx

dl]

dl dy

dr\ ~ dz

dl dz~

dx

df\

dx

dy

ÉTUDE DES FOnCES ÉLASTIQUES o3

nous trouverons

n,x = q' + r- ^yz = - qr

et de& valeurs analogues pour les autres polynômes II ; on voit bien qu'ils sont indépendants.

Or, dans l'expression donnée pour Wj, dans le cas des corps isotropes, 6 et H ne dépondent que des a et des Ti; donc le terme

correspond au premier groupe des termes de Wj tel que nous l'avions défini ; et l'ensemble des termes

0'- — À ^ — ail

correspond aux deux autres groupes.

Nous avons vu que le coefficient de a, dans W,c/t est

et que le coefficient de li^jc dans Wj'/t est

D'autre part, dans le cas des corps isotropes, on a posé : W^ = yO = V (a, -f a, -I- c,,]

Wo = v(n^^-f ... ) + ...

On a donc :

Dans le cas où les forces extérieures sont nulles dans l'état d'équilibre naturel, on a:

Y = o et par suite : v = o

C'est le cas particulier qu'ont considéré Lamé et Clebsch ; nons n'avons pas cru devoir nous y restreindre.

Dans le cas des forces centrales, nous avons trouvé les relations des deux types

Coeff. de p^ = coeff. de 2aoa3 Goeff. de 2p,p2 = coefF. de ^ocg^g

Les relations du second type sont satisfaites d'elles-mêmes, car les deux coefficients sont nuls ; celles du premier deviennent :

ijt. X

ou :

Dans le cas des corps isotropes, il y a donc, en général, trois coefficients arbitraires, qui se réduisent à deux ou à un seul dans les cas où les 27 coefficients du cas général se réduiraient à 21 ou à 15 (').

(1) Pour plus de détails sur les questions traitées dans ce chapitre,je renverrai à ma Théorie mathématique de la Lumière, pages 1 à 32.