ÉQUATIONS D'ÉQUILIBRE. — PRESSIONS

31. Pour avoir les équations d'équilibre, nous allons appliquer le principe des vitesses virtuelles, c'est-à-dire, puisque les molécules sont supposées libres, écrire que la somme des travaux virtuels de toutes les forces, extérieures et intérieures, est nulle, quels que soient les déplacements virtuels 8;, 8-ri, 8Ç.

La somme des travaux des forces intérieures est SU; quant aux forces extérieures, nous les diviserons en deux classes :

1° Les forces appliquées à toutes les molécules du corps (telles que la pesanteur). Soit c?t un élément de volume ; les forces appliquées aux diverses molécules de cet élément ont une résultante dont nous désignerons les composantes par Xc/t, YcIt, Z(h, car elle est du même ordre de grandeur que l'élément de volume. Nous la supposerons appliquée au centre de gravité de l'élément. L'on voit facilement que le couple résultant est, dans ces conditions, infiniment petit d'ordre supérieur et par suite négligeable.

Nous poserons :

X = X, + X, Y ^ Y^ + Y, Z= Z, -f-Zo

X^, Y^, Z, élant les valeurs de X, Y, Z dans l'état d'équilibre naturel; Xg, Yg, Z2 sont les forces additionnelles qui font passer le corps élastique de l'état d'équilibre naturel à l'e'tat d'équilibre contraint : ce sont les forces déformantes ;

2° Les forces appliquées seulement aux molécules superficielles. Soit o?a) un élément de la surface du corps ; nous désignerons par Pa^rfo), Pydo), P-rfoj les projections de la résultante des forces appliquées à cet élément (le couple résultant élant nul comme précédemment).

Ecrivons l'équation des vitesses virtuelles. Le travail des forces intérieures est :

SU =^ Sy (W^ + W2) dz =Jo (W, + Wo) dz, celui des forces extérieures est :

JiXZl + YSti + Zaq dT -\-J[P^ll + P^/Sri + ?,%) doy

la première intégrale étant étendue à tout le volume, la seconde à toute la surface du corps élastique. L'équation s'écrira donc :

fo {W, + Wo) dT -\-f{Xol + YSï] + ZK) dx